[BZOJ]4589 Hard Nim

　　小C在學FWT是無心間翻到的一道裸題。

Description

　　Claris和NanoApe在玩石子游戲，他們有n堆石子，規則以下：

　　1. Claris和NanoApe兩我的輪流拿石子，Claris先拿。

　　2. 每次只能從一堆中取若干個，可將一堆全取走，但不可不取，拿到最後1顆石子的人獲勝。

　　不一樣的初始局面，決定了最終的獲勝者，有些局面下先拿的Claris會贏，其他的局面Claris會負。

　　Claris很好奇，若是這n堆石子知足每堆石子的初始數量是不超過m的質數，並且他們都會按照最優策略玩遊戲，那麼NanoApe能獲勝的局面有多少種。

　　因爲答案可能很大，你只須要給出答案對10^9+7取模的值。

Input

　　輸入文件包含多組數據，以EOF爲結尾。
　　對於每組數據：共一行兩個正整數n和m。

Output

　　對於每組數據，輸出一個整數做爲答案。

Sample Input

　　3 7
　　4 13

Sample Output

　　6
　　120

HINT

　　每組數據有1<=n<=10^9，2<=m<=50000。不超過80組數據。

 

Solution

　　首先是Nim遊戲，根據Nim遊戲的結論，若全部石子的數量異或起來等於0，那麼後手必勝，不然先手必勝。

　　因此咱們要求的是n個數有多少種取值方案會使得這n個數的異或和爲0。

 

　　咱們先考慮n=2的時候怎麼作。

　　雖然咱們知道，答案等於m之內的質數個數，可是咱們仍是要想想最樸素的作法。

　　枚舉前一個數，枚舉後一個數，看看他們的異或和是否等於0。

　　這樣是O(m^2)的，並且咱們可以獲得的信息不僅是異或和爲0的方案數，甚至咱們連異或和爲x(x>0)的方案數都知道了。

　　而後仔細想一想這不就是在作FWT嗎？

　　（快速沃爾什變換FWT：http://www.cnblogs.com/ACMLCZH/p/8022502.html）

 

　　而後n>2呢？那大概就是n個這樣的數組卷積在一塊兒吧。

　　因爲卷積具備結合律，因此搞個卷積快速冪就能夠了。

　　時間複雜度O(T*logn*mlogm)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MM 135005
#define mod 1000000007
using namespace std;
int ntw,n,m,prin,len;
int pri[MM],a[MM],b[MM];
bool u[MM];

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();}
    return n*f;
}

void FWT(int *a,int len,int g)
{
    register int wt,st,i,x,y;
    for (wt=1;wt<len;wt<<=1)
        for (st=0;st<len;st+=wt<<1)
            for (i=0;i<wt;++i)
            {
                x=a[st+i]; y=a[st+wt+i];
                a[st+i]=1LL*g*(x+y)%mod;
                a[st+wt+i]=1LL*g*(x-y+mod)%mod;
            }
}

inline void pro(int* a,int* b,int len) {for (register int i=0;i<len;++i) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;}
void mi(int* b,int* a,int z,int len)
{
    FWT(b,len,1); FWT(a,len,1);
    for (;z;z>>=1,pro(a,a,len)) if (z&1) pro(b,a,len);
    FWT(b,len,ntw);
}

int main()
{
    register int i,j;
    for (i=2;i<MM;++i)
    {
        if (!u[i]) pri[++prin]=i;
        for (j=1;i*pri[j]<MM;++j)
        {
            u[i*pri[j]]=true;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    ntw=(mod+1)/2;
    while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        for (i=1;pri[i]<=m;++i) ++a[pri[i]];
        for (len=1;len<=pri[i-1];len<<=1);
        b[0]=1;    mi(b,a,n,len);
        printf("%d\n",b[0]);
    }
}

 

Last Word

　　原本《關於快速沃爾什變換(FWT)的一點學習和思考》要藉着這道題說出來的，因爲篇幅過長，只好另起一篇了。