數學家排行榜：高斯和黎曼誰纔是近現代最偉大的數學家？

第一：牛頓，高斯，歐拉，阿基米德

第二：柯西，龐加萊，康托爾，凱萊，哈密爾頓，黎曼，愛森斯坦，帕斯卡

第三：伽羅瓦，阿貝爾，希爾伯特，克萊因，狄裏克雷，莫比烏斯，萊布尼茨，笛卡爾

第四：諾特，雷爾曼，歐幾里得，勒讓德，拉普拉斯，拉格朗日，克羅內克，雅可比，羅巴切夫斯基

第五：傅里葉，量子論奠定人（狄拉克、薛定諤、愛因斯坦）

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簡要介紹：

高斯：能夠與歐拉比肩，在數論上當之無愧的史上第一，幾何史上top5，在代數領域也作了阿貝爾，伽羅華以前的最強的成就，在分析領域，也僅次於魏爾斯特拉斯，柯西，黎曼，阿貝爾等幾人能稍微領先他。換言之，在1840年之前，王子是絕對的統治時代的人物，也是牛頓，歐拉以後又一個統治時代的數學家。可想而知，有多恐怖😱！在被牛頓、歐拉統治下的時代剛過去，又來了個高斯！被稱爲「數學王子」。在1840年之前，高斯在數論，幾何，代數，分析四大數學領域裏均作出了當時最頂尖的成就。擁有過屬於本身的統治時代，這一點上也只有牛頓和歐拉作到過。換言之，在1840年代羣論和橢圓函數論逐漸嶄露頭角大放異彩以前，高斯是史上第一人毫無爭議。可是他惟一的缺陷就是廣度有了，可是深度不夠，19世紀近現代數學最重要的標誌性的成果，沒有一個是王子獨立開創的！近現代數學的標誌性成果，黎曼幾何、非歐幾何、羣論、橢圓函數論、複分析、分析基礎嚴格化、複變函數論等等，沒有一項是由高斯創立的！雖然高斯幾乎在全部領域都做出了傑出的貢獻，但他不是決定性的人物，羣論歸功於伽羅華和阿貝爾，橢圓函數論上阿貝爾，雅可比的工做超越了高斯，複分析與分析基礎嚴格化以及複變函數論成就最大的是黎曼，柯西，魏爾斯特拉斯，雖然高斯被認爲是非歐幾何創始人之一，但他沒有公開發表論文，並且完成度不如羅巴切夫斯基，鮑耶，雖然高斯引入曲率和測地線成爲現代微分幾何的奠定人，但將非歐幾何、微分幾何、橢圓幾何大一統的黎曼幾何是黎曼創立的，即便在高斯最強的數論領域，高斯全部數論的著做，沒有一篇比得上黎曼猜測這篇僅僅八頁紙的論文來的重要！並且高斯也只是統治了初等數論，對代數數論，解析數論貢獻不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！幾乎在十九世紀近現代全部最重要數學標誌性成果，居然沒有一項的發明權是屬於高斯的！很驚異吧？在不少人眼裏史上第一的數學家，居然沒有一項成果能夠躋身19世紀最重要的頂級成果的行列！從廣度與厚度以及全面性來看，高斯無疑能夠說是史上第一人，能夠說，高斯一我的作到了不少人一塊兒作到的工做，堪稱智力奇蹟，但論及深度，精度，開創性，洞察力，顛覆性，高斯顯然就遜色了。其實，在1854年高斯聽了黎曼關於幾何基礎的就任演講的那一天，王子就已經被黎曼遠遠超越了！那一天開始，王子就已經不是史上最佳了！高斯研究了高次方程解問題，但發現羣論的功績屬於伽羅華，阿貝爾。高斯發現了橢圓函數雙週期性，但阿貝爾，雅可比在橢圓函數上的工做比高斯要深入的多！高斯有了非歐幾何的思想，但完成度不如羅巴切夫斯基和鮑耶！高斯苦思一輩子沒有解決的幾何基礎問題，在他生前已經被黎曼解決！最小二乘法和二次互反率勒讓德也發現了，正態分佈發明權高斯必須與棣莫弗，拉普拉斯分享，等等等等……關於高斯的遺囑筆記，對專業數學家而言，高斯的遺著筆記固然仍是有不少啓發，但基本已經不是前沿的東西了，幾何的發展沿着黎曼的思想，代數羣論的發展沿着阿貝爾，伽羅華的思想，分析與冪級數的發展隨着魏爾斯特拉斯，柯西的思想發展，數論沿着狄利克雷，黎曼，戴德金的思想爲主發展，數學界最重要的發展，跟高斯筆記甚至高斯本人其實關聯已經不是很緊密了。若是說統治18世紀後半期到19世紀前半期數學的學者，高斯確定是史上最強數學家之一！但隨着數學的進展，尤爲是19世紀對後世影響最大的啓發，現當代數學的最偉大的一系列標誌性成果，幾乎沒有一項是由高斯創立完成的，幾何，分析，代數，甚至數論某些領域，全部分支在高斯生前就都已經被其餘學者彎道小超車了，這個黑點高斯不管如何無法越過，這點和牛頓徹底統治17世紀，歐拉徹底統治18世紀，有些差距。但高斯的抽象性與嚴密性要超過歐拉，並且系統性也更強，但這有時代因素。而與希爾伯特，格羅滕迪克，龐加萊三位20世紀的偉大科學家比較而言，高斯的學術成就與這三位二十世紀的大師相比基本也是半斤八兩，學術完成度與深度，貢獻和影響力都旗鼓至關。甚至在將來這三人的地位都有可能超太高斯，並且這三人都是對現當代數學的影響力是直接的和卓越的，學術難度都超越高斯很多。可是，高斯最大的優點是時間優點，比起這兩位位大師，高斯做出同級別同重量級的學術成就比起這兩位大師早了一百年！這三位大師的學術影響力還須要更多的時間的考驗，也許再過一兩百年，這幾位大師的地位均可能超越高斯，但如今排在高斯以前，還不合適。而比起伽羅華，阿貝爾，雖然伽羅華和阿貝爾引起了羣論以及結構化抽象代數的思潮，進而成爲當代數學最重要的數學範式與浪潮，並深入影響了物理學。能夠說，高斯沒有一項成就比得上。在思想上，洞察力與創造力上，高斯比起這兩個年輕人差距不小，尤爲羣論和抽象結構化數學已經統治了當代數學，這個影響力無與倫比，當代數學早已遠遠不是高斯的時代的東西了，對後世影響力高斯拍馬難及。可是，高斯在數學成就的全面度，完成度要遠遠超越伽羅華和阿貝爾，高斯在各大分支均作出時代頂尖的成就，而阿貝爾，伽羅華更像代數偏才，阿貝爾分析還能夠，對幾何數論貢獻能夠忽略，伽羅華本人更是對幾何分析數論幾乎沒有貢獻！因此總體綜合成就上，高斯已經超越阿貝爾和伽羅華不少了！其次，即便說到阿貝爾，伽羅華表明性的羣論和結構化抽象化數學思想，這固然極其燦爛光輝，高斯沒有一項成就比得上，可是問題是，伽羅華阿貝爾對羣論和抽象代數的思想只是起了個源頭，作了萌芽狀態的突破，但由於短命離世，並未做出更多實質性的突破，也就是說雖然伽羅華阿貝爾兩人體現了深邃的洞察力創造力，但他們更多的是起了一個創始人萌芽思想的做用，羣論和抽象代數的主要功績更多的是由後人如龐加萊，希爾伯特，格羅滕迪克以及戴德金等學者完成，也就是說，在成果的完成度上，伽羅華阿貝爾的成果仍是較原始和粗糙，並未實質性統治或改變數學。在這點上，伽羅華和阿貝爾比起黎曼差距很大。原本若是伽羅華阿貝爾再活二三十年，保持這樣的創造力，徹底能夠與龐加萊甚至黎曼一較高下了，數學成就史上前三甚至前四里就沒有高斯什麼事了。因此比起伽羅華阿貝爾來講，高斯的學術完成度要超越他們不少，尤爲是數論和微分幾何的成就，基本終結了古典數學時代，定型了領域和研究，況且高斯對各個數學分支都具備普遍的傑出成就，在1840甚至1850年之前是獨領風騷的，這點上阿貝爾，伽羅華沒法與高斯相提並論。因此高斯整體數學成就比阿貝爾伽羅華要高出大半個檔次到一個檔次，沒有爭議。綜合以上，目前高斯排在史上第二的位置，暫時仍是合適的。

黎曼：表明做黎曼幾何(人類數學史，物理史，乃至思想史，史上最重要一次智慧與認知突破，對整我的類意義層面上來講，黎曼幾何產生的時空觀念，堪與牛頓力學，進化論，相對論，量子力學等相媲美，其重要意義遠超過微積分和羣論，沒有爭議。)黎曼曲面，流形(現當代數學，物理的最重要的數學構造和基礎工具之一，不解釋)黎曼洛赫定理(當代代數幾何乃至物理學的數學中心定理中心支柱之一，不解釋)黎曼映射定理(據說過黎曼曲面的高維單值化定理嗎？不解釋)黎曼猜測(最重要的數學猜測，史上最驚豔的我的秀，單核碾壓全時代數論學者包括高斯無壓力，一篇僅僅八頁的短文，160年前，迄今未被超越) 。雖說文無第一，可是從純數學上來看黎曼的突破性和難度上是最大的，不考慮其它方面，僅僅從數學成就的角度來看，黎曼不管在重要性，影響力，顛覆性和突破性上，都遠遠超太高斯,歐拉,牛頓，換言之，黎曼在數學上的成就，大約等於高斯加歐拉再加上牛頓和龐加萊的總和，他們的差距大概這麼遠。難度上來講，黎曼如下的數學家，跟他差距都比較大，基本不在一個等級上，除了龐加萊在拓撲學難度上能夠稍微接近以外。那麼說黎曼是世界數學界最具影響力數學家的理由是什麼？（1）史上惟一具備全面統治力的數學家，沒有之一！以黎曼命名的數學成果共有81個，僅次於高斯(110個)，歐拉(102個)，數學成果多少不是黎曼的主要貢獻，黎曼對如何證實發現幾十幾百條各個數學分支的定理興趣彷佛不大，黎曼只搞那些將幾何，數論，分析等各種分支大一統的數學工具，從新改變數學的觀念和定義！其餘數學家停留在發現和研究數學，而黎曼直接是創造數學。這就是黎曼比高斯，龐加萊，歐拉，牛頓強的緣由！黎曼所作的都是數學史上最重要的工做，而這些工做只有黎曼一我的在作。不少人說黎曼的主要成就是開創奠定了複變函數，非歐幾何，解析數論，代數幾何，拓撲學等等學科，這固然很偉大，也很形式化，但這個評價並不能準確評估黎曼的地位，若是黎曼只是開創了多少新學科，那麼他的數學成就和地位不會比歐拉，高斯，龐加萊，希爾伯特，牛頓更高。開創許多數學分支並非黎曼的核心成就，黎曼的輝煌是來自他在開創這些分支時所發明的方法和數學構造，而這些數學構造倒是聯接幾何，分析，拓撲，數論，乃至物理的工具，好比黎曼曲面，流形，黎曼羅赫定理，黎曼映射定理，無不是直接聯接數學與物理的最重要的數學工具，很難想象當代一流的數學家或理論物理學家可以不用到這些基礎而做出一流的工做。黎曼的創造性的工做，使他成爲史上迄今惟一統治了數論，幾何，分析各大數學分支併爲現代物理提供最強力數學構造的超神級數學家。惟一可以與黎曼接近的是龐加萊。雖然牛頓聯接了分析與物理，但牛頓在數論，代數，幾何上的成就太次，根本達不到水準之上；高斯和歐拉，柯西等人成果覆蓋數論代數幾何分析，號稱全才，但和黎曼直接聯結分支的工做比起來，就顯得徹底不是一個檔次的工做了。黎曼一篇八頁的論文，就能幹掉高斯除算數探索和曲面幾何以外全部成果的總和了。阿貝爾，伽羅華的羣論抽代思想，既能夠對數學全局具備統治力，也完美聯結物理，本能夠與黎曼抗衡，但他們的完成度過低，短命留下了數學史上最大遺憾。黎曼惟一的缺憾是沒有對代數羣論做出成果，影響了他真正大一統數學領域，但也留下了大手筆，請不要忘記，黎曼-羅赫定理是現代抽象結構代數幾何的中心！（2）史上最具創造力，洞察力與遠見的數學家，沒有之一。黎曼歷來不以證實定理、爆算能力著稱，甚至不在意證實的嚴格性。黎曼只搞自由自在的創造！黎曼面，流形，度量，曲率張量，虧格，參模數，模空間，力即幾何，空間彎曲，等等在當時看來稀奇古怪的數學新概念新觀念，後來都被證實黎曼提出的新觀念，新概念。這些纔是數學物理的正確打開方式，纔是數學物理走進現代的基石，若是沒有黎曼憑空搞出來的這些奇怪的東西，現代數學和現代理論物理估計就完蛋了，相對論和量子場論恐怕就是民科了，如今最熱門的物理理論分支弦理論絕對不復存在了。而這些稀奇古怪的東西，在黎曼屈指可數的十幾篇論文裏俯拾皆是，這類新概念新觀念，隨便你發明了其中一個，都會成爲中國第一乃至世界前幾位的數學家！即便是他次一級的成就，好比柯西黎曼條件，黎曼積分，黎曼許瓦茲定理，黎曼澤塔函數等等等等之類，拿出來放在今天，也足以讓任何一個數學家成爲相關領域的頂尖學者！高斯是古典數學的集大成者，並啓發了現代數學，但帶領數學走進現代化的，是黎曼，伽羅華，阿貝爾，其中黎曼，纔是現代數學和物理大爆發的原點！（3）現代數學開山祖師，現代數學之王，對現代數學影響最深的學者，沒有之一！（4）史上思想最深邃，最具深度的數學家，沒有之一！一生只有18篇論文，但其中蘊含的思想，至今在引導數學家走向新的境界。黎曼的數學思想，兼具了統治力，創造性，前沿性和引導力，既找到了金礦，同時爲後來者提供了挖掘金礦的工具，在完成度和啓發性上，史上第一，沒有爭議！（5）黎曼重寫了數學的語言，觀念和定義。黎曼以後，人們忽然發現，**，原來數學還能夠這麼搞，原來這麼搞搞出來的東西的價值才大，沿着黎曼十幾篇文章搞出來的東西，纔是現代數學與理論物理的正確表達。這點過重要了，觀念的突破是決定性的，可以與黎曼媲美的只有龐加萊，伽羅華，和可憐的阿貝爾！（6）對當代物理學影響深遠，華人數學家丘成桐，陳省身，物理學家楊振寧都是黎曼的腦殘粉。丘成桐說中國學生中只要有人能完成黎曼一篇論文中的部分，這我的就能成爲中國最偉大的數學家，雖然有點誇張，但也說明了黎曼的重大影響力。楊-米爾斯理論實質就是黎曼-羅赫定理至今的終極應用，每一次對這個黎曼-羅赫定理的推廣成功都是數學和物理的巨大進步，英國當代最偉大數學家阿蒂亞(Atiyah)認爲，楊-米爾斯理論其實是數學科學大統一的核心。它是黎曼-羅赫-格羅騰迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推廣從而與代數幾何相關，同時又將分析直接同拓撲及微分幾何不變量聯繫起來。數學金字塔Top3，深度黎曼，廣度高斯，難度龐加萊，黎曼站在高斯肩膀上並全面超越，但黎曼以後的數學巨匠龐加萊，格羅滕迪克都沒法完全走出黎曼的陰影，奠基上面兩人核心地位的拓撲和代數幾何雛形都是黎曼開創的，這僅僅黎曼部分紅就，而黎曼對發現數學新理論，新分支，解決難題沒有興趣，僅僅是提供新的數學概念，觀念，想法，卻奠基了黎曼祖師爺地位。不過因爲黎曼觀念與方法過於超前，不爲當時所理解。雖然黎曼在生前已經被公認爲當時代最強的數學家之一，但這只是他那些別的同行看得懂的工做而言，黎曼更重要的思想，在論文中創造出稀奇古怪的新概念，很懷疑當時有幾個數學家可以理解，而黎曼開闢的思想方法工具領域，在長達近乎五十年，也就是半個世紀裏，都是相對冷門的研究領域，好比黎曼幾何，更多的是看成一種能夠自洽的幾何學，有幾個意大利學者在玩，沒人以爲這玩意有用，更不是數學界的主流，又好比黎曼猜測，也同樣在半個世紀裏幾乎沒幾我的問津，相比較而言，魏爾斯特拉斯，雅可比，戴德金，纔是數學界的主流，以及阿貝爾，伽羅華的學說都開始逐漸成爲主流。並且黎曼對於證實的某些不嚴謹，也讓後世數學家們紛紛避開黎曼面這個神級利器。所幸意大利那幾個學者默默的堅持搞這些全無用處的學問，以及後世克萊因，希爾伯特，龐加萊的力挺，黎曼終於回到神壇，在從新發現黎曼的過程當中，相關學者固然也收穫的超級豐厚的回報，尤爲是相對論的誕生，直接讓黎曼成爲數學史上第一人。在黎曼還活着的時候，他已是公認的當時最強數學家之一，雖然有「之一」，但他的成就與地位，公認的不如前一輩的有高斯柯西，同一輩的魏爾斯特拉斯，雅可比，甚至阿貝爾，伽羅華，聲望都要高於黎曼，即便和狄利克雷，戴德金，愛森斯坦比，也就半斤八兩。這無疑大大低估了黎曼的實際成就。當時看不清楚，而在160年以後回頭看，黎曼纔是十九世紀數學界燦爛星空中位居正中央的最耀眼的那一顆，光芒足以照亮整片星空！

因此作數學研究的數學工具備哪些？有哪些數學分支是值得研究的？而數學應用在地圖學上有哪些應用？應用價值如何？兩人哪一個應用價值更高？哪一個學術成就更高？

二十世紀數學家排名 ( 陳省身3一、華羅庚99...... ) :http://www.sohu.com/a/229681134_275707