【BZOJ1921】【CTSC2010】珠寶商（點分治，後綴自動機）

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題面

洛谷
BZOJ權限題

題解

若是要咱們作暴力，顯然能夠以某個點爲根節點，而後把子樹\(dfs\)一遍，建出特徵串的\(SAM\)，就能夠直接計算出現次數了。複雜度是\(O(size^2)\)
另一種暴力是咱們枚舉以某個點爲中心，考慮在其兩棵不一樣子樹內各選擇一條鏈，而後拼接在一塊兒計算答案。咱們假設選擇了\(R\)爲中心，而後有一條\((u\rightarrow R)\)的鏈，有一條\((R\rightarrow v)\)的鏈，咱們把\((u\rightarrow R)\)這個串在每一個匹配到的結尾位置打上一個標記，把\((R\rightarrow v)\)這個串在每一個被匹配到的開頭位置打上一個標記，因而咱們就只須要把每一個位置的左右兩個標記乘起來就是答案了。
而後考慮怎麼打這個標記，對於在開頭位置打標記，顯然是匹配上了一個後綴的前綴，那麼咱們把後綴樹建出來，由於每個後綴上的一個葉子節點對應着一個後綴，這樣子咱們只要在後綴樹上找到這個串匹配的節點，而後其子樹的全部葉子節點對應的後綴的開頭位置都要\(+1\)，因而子樹加能夠變成在後綴樹上的匹配點單點加，最後一次\(dfs\)一次後綴樹就行了。相似的，在結尾位置打標記就是在前綴的一段後綴打標記，那麼建出前綴樹就好了。因而咱們就能夠作到\(O(m+size)\)，其中\(m\)是特徵串的長度。可是這樣子會出現\(R\)的相同子樹裏的一個從上往下的串和一個從下往上的串進行了匹配，因而咱們還要對於每個子樹進行去除。
如今有了這兩種複雜度不一樣的作法，顯然咱們能夠按照\(B=\sqrt m\)來分類討論，對於\(size\le B\)直接\(O(size^2)\)暴力，不然對應下面這種的\(O(m+size)\)的作法，注意對於容斥減去相同子樹內的貢獻的時候，也須要考慮使用兩種對應的方法，不然複雜度是假的。
upd:
補一下關於複雜度的證實：
對於第一類暴力，單次是\(O(size^2)\)的，由於這樣處理完以後全部子樹的答案已經貢獻完畢，能夠直接返回，因此只須要在分治子樹大小第一次小於\(B\)的時候統計答案，而後由於全部這樣的子樹兩兩不交，因此\(\sum size\)是不會超過\(n\)的，而\(\sum size^2\le \frac{n}{B}B^2=nB\)，因此這一部分的複雜度是\(O(nB)\)的。
對於第二類暴力，咱們考慮\(size\gt B\)的分治重心的個數，根據點分治的性質，沒有子樹的\(size\)會大於父親的一半，因此每次向上至少要合併兩個\(size\gt B\)的分治子樹，而這樣子的子樹不會超過$ \frac{n}{B}\(個，因此向上合併的次數不會超過\)\frac{n}{B}$次，因此這樣子的分治重心的個數不會超過\(2\frac{n}{B}\)，而這樣子單次複雜度是\(O(size+m)\)，因此這部分的總複雜度是\(O(\frac{n}{B}m)\)。
綜上\(\frac{n}{B}m=nB\)，即\(B=\sqrt m\)的時候複雜度最優，爲\(O((n+m)\sqrt m)\)。

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代碼被我咕咕咕了怎麼辦......