素數檢測雜談
最初咱們學到的是這種樸素的寫法：算法
(define (prime? n)
(cond
[(or (= n 2) (= n 3)) #t]
[(even? n) #f]
[else (prime-test-loop n)]))
(define (prime-test-loop n)
(let ((top (ceiling (sqrt n))))
(let iter ((start 3))
(cond [(> start top) #t]
[(= (mod n start) 0) #f]
[else (iter (+ start 2))]))))
雖然很笨拙，但其實這也是通過「優化」的，首先，除了 2 之外的偶數就不用判斷了。其次，試除迭代從 3 起步，每次 +2，一樣避開了偶數。最後，循環的結束條件是 (sqrt n).數組
後來又看到一種生成素數序列的方法，大致思想是維護一個已知的素數表，每個新的數字 n 都用已知素數表裏的數去試除。若是都不能整除，說明 n 是素數，將 n 添加到已知的素數表裏，進入下一輪迭代。原文是用 C 實現的，事先搞一個大數組，每一輪迭代都遍歷數組，將已知素數的整數倍所對應的數組下標都劃掉，最後留在數組中的就是素數。其實這個算法也是 O(N^2) 複雜度，隨着 n 的增加，其代價也將迅速地變得不可接受。下面是我寫的 Scheme 版：dom
(define (prime-list n)
(let iter ((start 3) (primes '(2)))
(cond [(> start n) primes]
[(andmap (lambda (p) (not (= (mod start p) 0)))
primes)
(iter (+ start 2) (cons start primes))]
[else (iter (+ start 2) primes)])))
後來知道有一種基於機率的檢測方法叫費馬檢查，SICP 上就有一個實現，順便貢獻了一個 O(logN) 的快速乘方取模算法：函數
(define (square n) (* n n))
(define (expmod base exp m)
(cond ((= exp 0) 1)
((even? exp)
(mod (square (expmod base (/ exp 2) m))
m))
(else
(mod (* base (expmod base (- exp 1) m))
m))))
(define (fermat-test n)
(define (try-it a)
(= (expmod a n n) a))
(try-it (+ 1 (random (- n 1)))))
(define (fast-prime? n times)
(cond ((= times 0) #t)
((fermat-test n) (fast-prime? n (- times 1)))
(else #f)))
這個算法不是很可靠，由於它所依據的理論是個僞命題，費馬小定理斷言：若是 n 是一個素數，那麼小於 n 的任意正整數 a 的 n 次方再對 n 取模，結果依然爲 a。oop
它的逆命題是，a 是任意一個小於 n 的正整數, 若是 a ^ n % n = a，那麼 n 就是一個素數。很遺憾，這個逆命題不成立，由於有一類數叫作 Carmichael 數，它符合 a ^ n % n = a 這個特性，但卻不是素數。直接用這段程序檢查一個數是否是素數有很大的機會出錯。這是已知 Carmichael 數的一部分：測試
561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461
能夠看到，最小的數是 561。若是你準備寫一個程序，生成一個素數表，然而它迭代了 500 屢次之後就開始胡言亂語，玩笑有點開大發了。 SICP 提到一個費馬檢測的變形，叫作 Miller-Rabin 檢測，它可以避免 Carmichael 數的愚弄。優化
這個檢測依據的斷言是：若是 n 是一個素數，a 是任意一個小於 n 的正整數，那麼 a ^ (n-1) % n = 1 % n。翻譯
要用 米勒-拉賓 檢測算法測試一個數字是否是素數，咱們應當選擇一個小於 n 的隨機正整數 a, 而後利用
expmod函數計算a ^ (n-1) % n. 可是執行到expmod裏的square那一步時，咱們檢測是否是找到了一個(1 % n)的非平凡的平方根，換言之，看一看是否是有這樣一個數字，它既不是 1, 也不是 n-1，可是它的平方等於 1 % n。很容易證實，若是這樣一個 1 的非平凡的平方根存在，那麼 n 確定不是素數。一樣能夠證實，若是 n 是一個並不是素數的奇數，在小於 n 的正整數中，至少有一半在用這種方法計算a ^ (n-1)時可以找到這種非凡平方根。code
中文版的 SICP 看不太明白，我本身翻譯英文題目，仍是以爲看不太明白。但大概意思明白了，若是一個小於 n 的正整數 a，它符合 a ^ (n-1) & n = 1，可是 a 既不是 1, 也不是 n-1，那麼這個 n 確定不是素數。對一個僞素數來講，只作一次測試，正確與錯誤的機率對半分(事實上，出錯的機率遠遠小於一半)，基本和算命差很少。若是作兩次測試，那就頗有可能發現它的真面目。重複的次數越多，結果越可信。若是重複屢次依然經過了測試，那個這個數 n 大概真的是個素數了。與費馬檢查不一樣，費馬檢查遇到 Carmichael 數不管重複多少次都沒法給出正確的結果的。這就是它能避免 Carmichael 數愚弄的緣由。ip
SICP 留了一個做業 1.28 ，要求實現 Miller-Rabin 檢測，下面是具體實現：
(define (expmod base exp m)
(cond ((= exp 0) 1)
((even? exp)
(check-nontrivial-sqrt (expmod base (/ exp 2) m) m)) ;; look here
(else
(mod (* base (expmod base (- exp 1) m)) m))))
(define (check-nontrivial-sqrt n m)
(let ((x (mod (square n) m)))
(if (and (not (= n 1))
(not (= n (- m 1)))
(= x 1))
0
x)))
(define (miller-rabin-test n)
(define (try-it a)
(= (expmod a (- n 1) n) 1))
(try-it (+ 1 (random (- n 1)))))
(define (fast-prime? n times)
(cond ((= times 0) #t)
((miller-rabin-test n) (fast-prime? n (- times 1)))
(else #f)))
;; 搞了個包裝函數，偶數就沒必要判斷了吧
(define (prime? n)
(cond ((= n 2) #t)
((even? n) #f)
(else (fast-prime? n 10))))
上面的代碼我將迭代次數設爲10次，事實上我用5次迭代來測試全部已知的 Carmichael 數，重複了不少次都沒有發生錯誤。10次的迭代次數大概就能夠把錯誤機率降到宇宙射線引起 CPU 執行指令錯誤的程度了吧。下面是測試代碼和數表：
(define fname "Carmichael-list")
(call-with-input-file fname
(lambda (ip)
(let iter ((n (read ip)))
(cond
((eof-object? n) #t)
((prime? n)
(print n " test failed!" nl)
(iter (read ip)))
(else
(iter (read ip)))))))
前方高能的分隔線
Carmichael-list:
561 1105 1729 2465 2821 6601 8911 10585 15841 29341 41041 46657 52633 62745 63973 75361 101101 115921 126217 162401 172081 188461 252601 278545 294409 314821 334153 340561 399001 410041 449065 488881 512461 530881 552721 656601 658801 670033 748657 825265 838201 852841 997633 1024651 1033669 1050985 1082809 1152271 1193221 1461241 1569457 1615681 1773289 1857241 1909001 2100901 2113921 2433601 2455921 2508013 2531845 2628073 2704801 3057601 3146221 3224065 3581761 3664585 3828001 4335241 4463641 4767841 4903921 4909177 5031181 5049001 5148001 5310721 5444489 5481451 5632705 5968873 6049681 6054985 6189121 6313681 6733693 6840001 6868261 7207201 7519441 7995169 8134561 8341201 8355841 8719309 8719921 8830801 8927101 9439201 9494101 9582145 9585541 9613297 9890881 10024561 10267951 10402561 10606681 10837321 10877581 11119105 11205601 11921001 11972017 12261061 12262321 12490201 12945745 13187665 13696033 13992265 14469841 14676481 14913991 15247621 15403285 15829633 15888313 16046641 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