電磁場與電磁波第二章電磁場的基本規律

電荷是物質基本屬性之一。
1897年英國科學家湯姆遜(J.J.Thomson)在實驗中發現了電子。
1907－1913年間，美國科學家密立根(R.A.Miliken)經過油滴實驗，精確測定電子電荷的量值爲 $e =1.602 177 33×10^-19$ (單位：C),確認了電荷量的量子化概念。換句話說，e 是最小的電荷量，而任何帶電粒子所帶電荷都是e 的整數倍。
宏觀分析時，電荷常是數以億計的電子電荷e的組合，故可不考慮其量子化的事實，而認爲電荷量q可任意連續取值。

理想化實際帶電系統的電荷分佈形態分爲四種形式：
點電荷、體分佈電荷、面分布電荷、線分佈電荷app

1.電荷體密度

電荷連續分佈於體積V內，用電荷體密度來描述其分佈
$\rho(\vec{r})=\lim\limits_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta V}=\frac{dq(\vec{r})}{dV}$ 單位：C/m3 (庫侖/米3 )
根據電荷密度的定義，若是已知某空間區域V中的電荷體密度，則區域V中的總電量q爲
$q=\int_{V}\rho(\vec{r})dV$ svg

2.電荷面密度

若電荷分佈在薄層上的狀況，當僅考慮薄層外，距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計算該薄層內的電場時，可將該薄層的厚度忽略，認爲電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。
$\rho_S(\vec{r})=\lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S}=\frac{dq(\vec{r})}{dS}$ 單位: C/m2 (庫侖/米2)
若是已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電量q 爲
$q=\int_{S}\rho_S(\vec{r})dS$ 函數

3. 電荷線密度

在電荷分佈在細線上的狀況，當僅考慮細線外，距細線的距離要比細線的直徑大得多處的電場，而不分析和計算線內的電場時，可將線的直徑忽略，認爲電荷是線分佈。
$\rho_l(\vec{r})=\lim\limits_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta l}=\frac{dq(\vec{r})}{dl}$ 單位: C/m (庫侖/米)
若是已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電量q 爲
$q=\int_{C}\rho_l(\vec{r})dl$ spa

4.點電荷

對於總電量爲 q 的電荷集中在很小區域 V 的狀況，當不分析和計算該電荷所在的小區域中的電場，而僅須要分析和計算電場的區域又距離電荷區很遠，即場點距源點的距離遠大於電荷所在的源區的線度時，小體積 V 中的電荷可看做位於該區域中心、電量爲 q 的點電荷。
點電荷的電荷密度表示
$\rho(\vec{r})=q\delta(\vec{r}-\vec{r}\prime)$
位於 $r=r\prime$ 處的點電荷q 的體密度爲
$q\delta(\vec{r}-\vec{r}\prime)$ 設計

2.電流與電流密度

電流—電荷的定向運動而造成，用i 表示，其大小定義爲：單位時間內經過某一橫截面S的電荷量，即
$i=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{dq}{dt}$
單位: A （安培）
電流方向: 正電荷的流動方向
造成電流的條件：orm

存在能夠自由移動的電荷
存在電場

說明：電流一般時時間的函數，不隨時間變化的電流稱爲恆定電流，用 $I$ 表示。
通常狀況下，在空間不一樣的點，電流的大小和方向每每是不一樣的。在電磁理論中，經常使用體電流、面電流和線電流來描述電流的分別狀態。
1.體電流

電荷在某一體積內定向運動所造成的電流稱爲體電流，用電流密度矢量 $\vec{J}$ 來描述。
$\vec{J}=\vec{e}_n\lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta S}=\vec{e}_n\frac{di}{dS}$ 單位：A/m2 , $\vec{e}_n$ 爲正電荷運動的方向
流過任意曲面S 的電流爲
$i=\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S}$ xml

2.面電流

電荷在一個厚度能夠忽略的薄層內定向運動所造成的電流稱爲面電流，用面電流密度矢量 $\vec{J}_S$ 來描述其分佈
$\vec{J}_S=\vec{e}_t\lim\limits_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta l}=\vec{e}_t\frac{di}{dl}$ 單位：A/m , $\vec{e}_t$ 爲正電荷運動的方向
經過薄導體層上任意有向曲線 $\vec{l}$ 的電流爲
$i=\int_l \vec{J}_S\cdot (\vec{e}_n\times d\vec{l})$ htm

3.電荷守恆定律（電流連續性方程）

電荷守恆定律:電荷既不能被創造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉移到另外一部分，或者從一個物體轉移到另外一個物體。
電荷守恆定律是電磁現象中的基本定律之一。

電流連續性方程
積分形式: $\oint_S \vec{J}\cdot dS=-\frac{dq}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_V\rho dV$
(流出閉合面S的電流等於體積V內單位時間所減小的電荷量)
微分形式: $\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

恆定電流的連續性方程
$\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$ —> $\nabla\cdot\vec{J}=0,\oint_S \vec{J}\cdot dS=0$

恆定電流是無源場，電流是連續的閉合曲面，既起點也無終點。
恆定電流場是一個無散度的場

真空中靜電場的基本規律

靜電場：由靜止電荷產生的電場
重要特徵：對位於電場中的電荷有電場力做用

1.庫侖定律電場強度

庫侖（Coulomb）定律(1785年)
真空中靜止點電荷 q1 對 q2 的做用力:
$\vec{F}_{12}=\vec{e}_R\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0R^2_{12}}=\frac{q_1q_2\vec{R}_{12}}{4\pi\varepsilon_0R^3_{12}}$

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；
方向沿q1 和q2 連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；
$\vec{F}_{12}=\vec{F}_{21}$ 知足牛頓第三定律。
電場力服從疊加原理
真空中的N個點電荷 $q_1,q_2,q_3...q_N$ （分別位於 $\vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3...\vec{r}_N$ ）對點電荷q（位於 $\vec{r}$ ）的做用力爲
$\vec{F}_q=\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{q_iq}=\sum_{i=1}{N}\frac{qq_i}{4\pi\varepsilon_0R^3_I}\vec{R}_i(\vec{R}_i=\vec{r}-\vec{r}_i)$

1.電場強度

電場強度矢量 $\vec{E}$ —描述電場分佈的基本物理量
空間某點的電場強度定義爲置於該點的單位點電荷（又稱試驗電荷）受到的做用力，即
$\vec{E}(\vec{r})=\lim\limits_{q_0\rightarrow 0}\frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}$
${q_0}$ —試驗正電荷
根據上述定義，真空中靜止點電荷q 激發的電場爲：
$\vec{E}(\vec{r})=\frac{q\vec{R}}{4\pi\varepsilon_0R^3}(\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}\prime)$
體密度爲 $\rho(\vec{r})$ 的體分佈電荷產生的電場強度,將體電荷公式代入
$\vec{E}(\vec{r})=\sum_{i=1}\frac{\rho(\vec{r}_i\prime)\Delta V_i\prime \vec{R}_i}{4\pi\varepsilon_0R^3_i}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V}\frac{\rho(\vec{r\prime})\vec{R}}{R^3}dV\prime$
面密度爲 $\rho_S(\vec{r})$ 的面分布電荷的電場強度
$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{S}\frac{\rho_S(\vec{r\prime})\vec{R}}{R^3}dS\prime$
線密度爲 $\rho_l(\vec{r})$ 的線分佈電荷的電場強度
$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{C}\frac{\rho_l(\vec{r\prime})\vec{R}}{R^3}dl\prime$

2. 幾種典型電荷分佈的電場強度

均勻帶電直線段的電場強度：

有限長:
$E_r=\frac{\rho_l}{4\pi\varepsilon_0 r}(cos\theta_1-cos\theta_2)$
$E_z=\frac{\rho_l}{4\pi\varepsilon_0 r}(sin\theta_2-sin\theta_1)$
無限長:
$E_\rho=\frac{\rho_l}{2\pi\varepsilon_0 \rho}$
均勻帶電圓環軸線上的電場強度：

$E_z(0,0,z)=\frac{a\rho_lz}{2\varepsilon_0(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$
電偶極子的電場強度：

電偶極子是由相距很近、帶等值異號的兩個點電荷組成的電荷系統，其遠區電場強度爲
$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}[\frac{3({\vec{p}\cdot\vec{r}})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{p}}{r^3}]=\frac{P}{4\pi\varepsilon_0r^3}(\vec{e}_r2cos\theta+\vec{e}_\theta sin\theta)$

2.靜電場的散度與旋度

1.靜電場的散度和高斯形式

靜電場的散度（微分形式）：
$\nabla\cdot \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0}$ (推導見書P43)
靜電場的高斯定理(積分形式)：
$\oint_S \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV$

高斯定理代表：靜電場是有源場，電場線起始於正電荷，終止於負電荷。

2. 靜電場旋度與環路定理

靜電場的旋度（微分形式）：
$\nabla\times \vec{E}(\vec{r})=0$
靜電場的環路定理(積分形式)：
$\int_{c}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0$
環路定理代表:靜電場是無旋場，是保守場，電場力作功和路徑無關

3. 利用高斯定理計算電場強度

當電場分佈具備必定對稱性的狀況下，能夠利用高斯定理計算電場強度。
具備如下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球對稱分佈：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。
軸對稱分佈：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。
無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

真空中恆定磁場的基本規律

安培力定律磁感應強度

1. 安培力定律

安培對電流的磁效應進行了大量的實驗研究，在 1821～1825年之間，設計並完成了電流相互做用的精巧實驗，獲得了電流相互做用力公式，稱爲安培力定律。

實驗代表，真空中的載流回路C1對載流回路C2的做用力
$\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_2}\int_{C_1}\frac{I_2d\vec{l}_2\times(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}$
載流回路C2對載流回路C1的做用力
$\vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}$
知足牛頓第三定律

二、磁感應強度 $\vec{B}$

電流在其周圍空間中產生磁場，描述磁場分佈的基本物理量是磁感應強度 $\vec{B}$ ，單位爲T（特斯拉）。
磁場的重要特徵是對場中的電流磁場力做
用，載流回路C1對載流回路 C2 的做用力是迴路 C1中的電流 I1 產生的磁場對迴路 C2中的電流 I2 的做用力。
根據安培力定律，有
$\vec{F}_{12}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\vec{B}_1(\vec{r}_2)$
其中 $\vec{B}_1(\vec{r}_2)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}$
電流 $I_1$ 在電流元 $I_2d\vec{l}_2$ 處產生的磁感應強度

任意電流回路C產生的磁場感應強度
$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C}\frac{id\vec{l}\prime\times(\vec{r}-\vec{r}\prime)}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C}\frac{id\vec{l}\times\vec{R}}{R^3}$

電流元 $id\vec{l}\prime$ 產生的磁場感應強度
$d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{id\vec{l}\prime\times(\vec{r}-\vec{r}\prime)}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|^3}$

體電流產生的磁場感應強度
$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\frac{\vec{J}(\vec{r}\prime)\times\vec{R}}{R^3}dV\prime$

面電流產生的磁感應強度
$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{S}\frac{\vec{J}_{S}(\vec{r}\prime)\times\vec{R}}{R^3}dS\prime$

3. 幾種典型電流分佈的磁感應強度

載流直線段的磁感應強度：

$\vec{B}=\vec{e}_\phi\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(cos\theta_1-cos\theta_2)(有限長)$
$\vec{B}=\vec{e}_\phi\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}(無限長)$
載流圓環軸線上的磁感應強度

$\vec{B}(0,0,z)=\vec{e}_z\frac{\mu_0I a^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}$

恆定磁場的散度和旋度

1.恆定磁場的散度和磁通連續性原理

恆定場的散度(微分形式)：
$\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r})=0$
磁通連續性原理(積分形式):
$\int_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0$

磁通連續性原理代表：恆定磁場是無源場，磁場線是無起點和終點的閉合曲線

2.恆定磁場的旋度和安培環路定理

恆定磁場的旋度(微分形式):
$\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_0\vec{J}(\vec{r})$
安培環路定理(積分形式):
$\oint_{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_{S}\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\mu_0I$
安培環路定理代表:恆定磁場是有旋場，是非保守場，電流是磁場的漩渦源

3.利用安培環路定理計算磁感應強度

當磁場分佈具備必定對稱性的狀況下，能夠利用安培環路定理計算磁感應強度。

媒質的電磁特性

媒質對電磁場的響應可分爲三種狀況：極化、磁化和傳導。
描述媒質電磁特性的參數爲：介電常數、磁導率和電導率。

電介質的極化電位移矢量

1.電介質的極化現象

電介質的分子分爲無極分子和有極分子。在電場做用下，介質中無極分子的束縛電荷發生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨於電場方向，這種現象稱爲電介質的極化。一般，無極分子的極化稱爲位移極化，有極分子的極化稱爲取向極化。

2.極化強度矢量 $\vec{P}(C/m^2)$

極化強度矢量是描述介質極化程度的物理量，定義爲

$\vec{P}=\lim\limits_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\sum \vec{P}_i}{\Delta V}=n\vec{p}$

$\vec{p}=q\vec{l}-分子的平均電偶極矩$

$\vec{p}$ 的物理意義：單位體積內分子電偶極矩的矢量和。
極化強度與電場強度有關，其關係通常比較複雜。在線性、各向同性的電介質中，與電場強度成正比，即
$\vec{P}=x_e\varepsilon_0\vec{E}$
$x_e(>0)-電介質的電極化率$

3.極化電荷

因爲極化，正負電荷發生位移，在電介質內部可能出現淨餘的極化電荷分佈，同時在電介質的表面上有面分佈的極化電荷。
(1)極化電荷體密度

在電介質內任意做一閉合面S，只有電偶極矩穿過S的分子對S內的極化電荷有貢獻。因爲負電荷位於斜柱體內的電偶極矩才穿太小面元dS，所以dS對極化電荷的貢獻爲
$dq_p=-qnd dS cos\theta=-PdScos\theta=-\vec{P}\cdot d\vec{S}$
S所圍的體積內的極化電荷 $q_p$ 爲
$q_p=-\oint_S \vec{P}\cdot d\vec{S}=-\int_V \nabla\cdot \vec{P}dV$
$\rho_p=-\nabla\cdot \vec{P}$
(2)極化電荷面密度

緊貼電介質表面取如圖所示的閉曲面，則穿過面積元的極化電荷爲
$dq_p=qnd dS cos\theta=PdScos\theta=\vec{P}\cdot d\vec{S}$
故獲得電介質表面的極化電荷面密度爲
$\rho_{SP}=\vec{P}\vec{e}_n$

4. 電位移矢量介質中的高斯定理

介質的極化過程包括兩個方面：

外加電場的做用使介質極化，產生極化電荷；
極化電荷反過來激發電場，二者相互制約，並達到平衡狀態。不管是自由電荷，仍是極化電荷，它們都激發電場，服從一樣的庫侖定律和高斯定理。

介質中的電場應該是外加電場和極化電荷產生的電場的疊加，應用高斯定理獲得：

$\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V(\rho+\rho_0)dV$
$\varepsilon_0\nabla\cdot \vec{E}=\rho+\rho_p$

將極化電荷體密度表達式 $\rho_p=-\nabla\cdot \vec{P}$
代入 $\varepsilon_0\nabla\cdot \vec{E}=\rho+\rho_p$ ，有 $\varepsilon_0\nabla\cdot \vec{E}=\rho-\nabla\cdot \vec{P}$
引入電位移矢量(單位爲 $C/m^2$ )
$\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}$
則有 $\nabla \cdot \vec{D}=\rho$
其積分形式爲 $\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_V\rho dV$ (任意閉合曲面電位移矢量 D 的通量等於該曲面包含自由電荷的代數和 )

小結：靜電場是有源無旋場，電介質中的基本方程爲
$\begin{cases} {\nabla\cdot \vec{D}=\rho}\\ {\nabla\times\vec{E}=0} \end{cases}(微分形式)$

$\begin{cases} {\int_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_V\rho dV}\\ {\int_C \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0} \end{cases}(積分形式)$

5.電介質的本構關係

極化強度 $\vec{P}$ 和電場強度 $\vec{E}$ 的之間的關係由介質的性質決定。對於線性各向同性介質， $\vec{P}$ 和 $\vec{E}$ 有簡單的線性關係
$\vec{P}=\varepsilon_0x_e\vec{E}$
在這種狀況下由
$\vec{D}=\varepsilon_0(1+x_e)\vec{E}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_r\varepsilon_0\vec{E}$
其中 $\varepsilon=\varepsilon_0(1+x_e)=\varepsilon_r\varepsilon_0$ 稱爲介質的介電常數， $\varepsilon_r=1+x_e$ 稱爲介質的相對介電常數(無量綱)。

磁介質的磁化磁場強度

1.磁介質的磁化

介質中的分子或原子內的電子運動造成分子電流，造成分子磁矩

$\vec{P}_m=i\Delta\vec{S}$
無外磁場做用時，分子磁矩不規則排列，宏觀上不顯磁性。

在外磁場做用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現象稱爲磁介質的磁化。

2. 磁化強度矢量 $\vec{M}$

磁化強度 $\vec{M}$ 是描述磁介質磁化程度的物理量，定義爲單位體積中的分子磁矩的矢量和，即
$\vec{M}=\lim\limits_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\sum \vec{P}_m}{\Delta V}=n\vec{p}_m$
單位爲A/m

3. 磁化電流

磁介質被磁化後，在其內部與表面上可能出現宏觀的電流分佈，稱爲磁化電流。
(1)磁化電流體密度 $\vec{J}_M$
考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子纔對電流有貢獻。與線元dl相交鏈的分子，中心位於如圖所示的斜圓柱內，所交鏈的電流
$dI_M=ni\Delta\vec{S}\cdot d\vec{l}=n\vec{p}_m\cdot d\vec{l}=\vec{M}\cdot d\vec{l}$
穿過曲面S的磁化電流爲
$I_M=\int_CdI_M=\int_C\vec{M}\cdot d\vec{l}=\int_S \nabla\times\vec{M}\cdot d\vec{S}$
由 $I_M=\int_S{\vec{J}_M}$ 即獲得磁化電流體密度
$\vec{J}_M=\nabla\times\vec{M}$

(2)磁化電流面密度 $\vec{J}_{SM}$

在緊貼磁介質表面取一長度源dl，在此交鏈的磁化電流爲
$dI_M=\vec{M}\cdot\vec{l}=\vec{M}\cdot\vec{e}_tdl=M_tdl$
則 $\vec{J}_{SM}=M_t$
即 $\vec{J}_{SM}=\vec{M}\times\vec{e}_n$

4. 磁場強度介質中安培環路定理

外加磁場使得介質發生磁化，磁化致使磁化電流。磁化電流一樣也激發磁感應強度，兩種相互做用達到平衡介質中的磁感應強度B 應是全部電流源激勵的結果：
$\nabla \times \vec{B}=\mu_0(\vec{J}+\vec{J}_M)$
$\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_S(\vec{J}+\vec{J}_M)\cdot d\vec{S}$
$\vec{J}和\vec{J}_M$ 分別是傳導電流密度和磁化電流密度
將極化電荷體密度表達式 $\vec{J}_M=\nabla\times \vec{M}$ 代入 $\nabla \times \vec{B}=\mu_0(\vec{J}+\vec{J}_M)$
有
$\nabla \times (\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M})=\vec{J}$
定義磁場強度 $\vec{H}$ 爲： $\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}$ ,即 $\vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M})$
則獲得介質中的安培環路定理爲：
$\oint_C\vec{H}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\int_S \vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}$
$\nabla\times\vec{H}(\vec{r})=\vec{J}(\vec{r})$
磁通連續性定理爲
$\oint_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0$
$\nabla\cdot \vec{B}(\vec{r})=0$
小結：恆定磁場是有源無旋場，磁介質中的基本方程爲
$\begin{cases} {\nabla\times\vec{H}(\vec{r})=\vec{J}(\vec{r})}\\{\nabla\cdot \vec{B}(\vec{r})=0} \end{cases}(微分形式)$
$\begin{cases} {\oint_C\vec{H}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\int_S\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}}\\{\oint_S\vec{B(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0}} \end{cases}(積分形式)$

5. 磁介質的本構關係

磁化強度 $\vec{M}$ 與磁場強度 $\vec{H}$ 之間的關係由介質的性質決定。對於線性各向同性介質， $\vec{M}$ 和 $\vec{H}$ 有簡單的線性關係
$\vec{M}=x_m\vec{H}$
其中， $x_m$ 稱爲介質的磁化率(也成爲磁化係數)。
這種狀況下
$\vec{B}=\mu_0(1+x_m)\vec{H}=\mu\vec{H}$
其中 $\mu=\mu_0(1+x_m)=\mu_r\mu_0$ 稱爲介質的磁導率， $\mu_r=1+x_m$ 稱爲介質的相對磁導率(無量綱)
磁介質的分類
$\mu_r>1$ 順磁質
$\mu_r<1$ 抗磁質
$\mu_r>>1$ 鐵磁質

媒質的傳導特性

1.定義存在能夠自由移動帶電粒子的介質稱爲導電媒質。在外場做用下，導電媒質中將造成定向移動電流。

2，公式對於線性和各向同性導電媒質，媒質內任一點的電流密度矢量 J 和電場強度 E 成正比，表示爲
$\vec{J}=\sigma\vec{E}$
這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例係數 $\sigma$ 稱爲媒質的電導率，單位是S/m(西門子/米)。

電磁感應定律和位移電流

電磁感應定律 —— 揭示時變磁場產生電場
位移電流 —— 揭示時變電場產生磁場
重要結論：在時變狀況下，電場與磁場相互激勵，造成統一的電磁場。

電磁感應定律

自從1820年奧斯特發現電流的磁效應以後，人們開始研究相反的問題，即磁場可否產生電流。
1881年法拉弟發現，當穿過導體迴路的磁通量發生變化時，迴路中就會出現感應電流和電動勢，且感應電動勢與磁通量的變化有密切關係，由此總結出了著明的法拉電磁感應定律。
1 法拉弟電磁感應定律的表述
當經過導體迴路所圍面積的磁通量 發生變化時，迴路中產生的感應電動勢 $\varepsilon_{in}$ 的大小等於磁通量的時間變化率的負值，方向是要阻止迴路中磁通量的改變，即
$\varepsilon_{in}=-\frac{d \psi}{dt}$
負號表示感應電流產生的磁場老是阻止磁通量的變化。
設任意導體迴路C圍成的曲面爲 $S\prime$ ，其單位法向矢量爲 $\vec{e}_n$ ，則穿過迴路的磁通爲
$\psi=\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}$
$\varepsilon_{in}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$
導體迴路中有感應電流，代表迴路中存在感應電場，迴路中的感應電動勢可表示爲
$\varepsilon_{in}=\int_C\vec{E}_m\cdot d\vec{l}$
於是有
$\int_C\vec{E}_m\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}$

對感應電場的討論：

感應電場是由變化的磁場所激發的電場；
感應電場是有旋場；
感應電場不只存在於導體迴路中，也存在於導體迴路以外的
空間；
對空間中的任意迴路（不必定是導體迴路）C ，都有
$\int_C\vec{E}_m\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$

若空間同時存在由電荷產生的電場，則總電場 $\vec{E}$ 應爲 $\vec{E}_m$ 與 $\vec{E}_c$ 之和。因爲 $\vec{E}=\vec{E}_m+\vec{E}_c$ ，故有 $\int_C\vec{E}_c\cdot d\vec{l}=0$

$\int_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$
這就是推廣的法拉第電磁感應定律
2.引發迴路中磁通變化的幾種狀況：
(1)迴路不變，磁場隨時間變化
磁通量的變化由磁場隨時間變化引發，所以有
$\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$
$\int_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$
相應的微分形式爲
$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
(2)導體迴路在恆定磁場中運動
$\varepsilon_{in}=\int_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=\int_C(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}$