劍指Offer題目9：斐波那契數列（Java）

面試題9：你們都知道斐波那契數列，如今要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項爲0）。n<=39

Basic ：斐波那契數列定義

當 0 < n <= 1 時，f(n) = n;
當 n > 1 時，f(n) = f(n-1) + f(n-2)
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解題思路

1、遞歸寫法（低效，慢）

遞歸分析，以下圖所示：

這棵樹中有不少結點是重複的，並且重複的結點數會隨着n的增大而急劇增長，這意味計算量會隨着n的增大而急劇增大。

用遞歸方法計算的時間複雜度是以n的指數的方式遞增的。

2、for 循環寫法

使用中間變量，在每次循環以後都將中間計算結果保存起來，用於下一次循環，時間複雜度減小到O(n)。

代碼實現

1、遞歸寫法（低效，慢）

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n <= 1) {
            return n;
        }
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
}
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2、for 循環寫法

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n <= 1) {
            return n;
        }
        int fibNMinus1 = 1;
        int fibNMinus2 = 0;
        int fibN = 0;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            fibN = fibNMinus1 + fibNMinus2;
            fibNMinus2 = fibNMinus1;
            fibNMinus1 = fibN;
        }
        return fibN;
    }
}
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總結

遞歸實現起來簡潔，但一般效率比for循環要低不少。

擴展：青蛙跳臺階

題目：一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（前後次序不一樣算不一樣的結果）。

思路分析

前提只有 一次 1階或者2階的跳法。

a.若是兩種跳法，1階或者2階，那麼假定第一次跳的是一階，那麼剩下的是n-1個臺階，跳法是f(n-1);

b.假定第一次跳的是2階，那麼剩下的是n-2個臺階，跳法是f(n-2)

c.由a和b 兩種假設能夠得出總跳法爲: f(n) = f(n-1) + f(n-2) 

d.Base case：只有一階的時候 f(1) = 1 ,只有兩階的時候能夠有 f(2) = 2
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public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target <= 0) {
            return -1;
        }
        if(target <= 2){
            return target;
        }
        return JumpFloor(target - 1) + JumpFloor(target - 2);
    }
}
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題目：一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級……它也能夠跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

數學概括法，各類計算，略過。

題目：咱們能夠用2×1（圖2.13的左邊）的小矩形橫着或者豎着去覆蓋更大的矩形。請問用8個2×1的小矩形無重疊地覆蓋一個2×8的大矩形（圖2.13的右邊），總共有多少種方法？

思路分析

首先把 2x8 的覆蓋方法總數記爲 f(8)。

用第一個 1x2 小矩形去覆蓋大矩形的最左邊時有兩個情形，豎着放或者橫着放。

豎着放：右邊還剩下 2x7 的區域，這種情形下的覆蓋方法記爲 f(7)。

橫着放：1x2 小矩形無論是橫着放在左上角仍是左下角，另一個小矩形必須跟在該小矩形的下邊或上邊貼合，即不管如何只有
一種覆蓋方法。而此時右邊還剩下 2x6 的區域，這種情形下的覆蓋方法記爲 f(6)。

2x8 的覆蓋方法就由這兩種情形構成，所以，他們之間存在如下關係：

f(8) = f(7) + f(6)

類推：f(n) = f(n-1) + f(n-2) 即斐波那契數列。
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代碼實現

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if(target<=2) {
            return target;
        }
        return RectCover(target - 1) + RectCover(target - 2);
    }
}
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