計量經濟與時間序列_預測

1.   計量經濟學也叫數量經濟學或者叫量化經濟學，主要的過程是數據結構分析、計量模型創建和預測。所以預測這個話題在時間序列數據中至關重要。他如今還是一個很活躍的研究領域。不少的量化投資模型最重要應用也就是預測。

2.   這裏幾種研究以迴歸爲進出的預測方法。

3.   假定咱們的主要興趣是預測一個時間序列過程的未來值，而不必定是要估計因果性或結構型經濟模型。

4.   首先介紹一些與模型具體形式無關的基本預測原理。

　　4.1   假設咱們在t 時期(當前時刻)想要預測y 變量 在t+1時期(下一個時間窗口)的結果，即y_{t +1}。

　　4.2   所用時間單位能夠是一年、一個季度、一個月、一個星期或一天。令I_t 表明咱們在t 時期能夠觀測到的全部信息。這些信息叫作信息集(information set)，包含yt 和 y 的先導值，經常還包括其餘變量在t 或更早時期的值。能夠用無數種方法來組合這些信息去預測y_t+1。有沒有哪種方法更好呢？

　　4.3   設定與預測偏差相聯繫的損失(loss)，答案即是確定的。

　　4.4   令一個函數f_t 表明在t 期對y_t+1所做的預測。稱f_t 爲提早一期預測(one-step-ahead forecast)。預測偏差(forecast error)是 e_t+1 = y_t+1 - f_t，常見的偏差還能夠用(e_{t +1})² 來表示。

　　4.5   偏差平方這種作法，對稱地處理正負偏差，越大的偏差獲得的權重也越大。還有一種叫|et+1| 的絕對值表示。這些都叫預測偏差的損失函數(loss function)。

5.   在t 時期，並不知道e_t+1的值是多少，由於y_t+1是一個隨機變量，因此et+1也是個隨機變量。

6.   因此在給定I_t 的全部信息集時，天然而然的咱們選擇使預測偏差平方的指望最小的值：所以這個損失函數能夠表示成下面這種機率表達式：

　　E((e_t+1)² | I_t) = E[(y_t+1 - f_t)² | I_t] (解釋爲：給定信息集右側實際值和預測值的平方的指望，等於給定預測值下一時刻的偏差平方的指望，也就是說使得這個條件均值最小化，越趨近於0，越好)。

7.   第一種簡單預測：指數平滑法(exponenial smoothing)，預測值經過下面的等式求出：f_t = αy_t + (1-α)f_t-1，yt+1時期的預測值 是y_t 和 在t-1時期對y預測值的加權平均。

8.   第二種簡單預測：條件預測(conditional forecast)，已知一個模型的表達式：y_t = β₀ + β₁z_t + μ_t，那麼，E(y_t+1 | I_t) = β₀ + β₁z_t+1，不行的是咱們不多知道z_t+1 時刻的其餘信息。除非包含時間趨勢和季節虛擬變量。

9.   第三種簡單預測：無條件預測(unconditional forescast)，這個名詞多少有些用詞不當，由於咱們的預測仍然是以I_t中的信息爲條件。可是這一名詞在預測文獻中已經根深蒂固了(無非在用於與測試，被咱們賦予一個特定的含義罷了)。

10.   就預測而言，除非因爲某些緣由使咱們不得不用8中的模型，不然最好的設定的模型取決於y和z 的滯後值。這版省卻了一些步驟，沒必要在預測y以前還要預測右邊的變量。很容易就想到的一個模型是y_t = δ₀ + α₁y_t-1 + γ₁z_t-1 + μ_t。其中根據公式定義E(μ_t | I_t-1) = 0。若已知這些參數(估計出來)那麼在t 時期對y_t+1的預測值就是這個公式：δ₀ + α₁y_t + γ₁z_t。

11.   提早一期預測函數能夠寫成：hat_ƒ = hat_δ₀ + hat_α₁y_n + hat_γ₁z_n。

12.   舉一個時間序列的預測示例(來自伍德里奇的計量經濟學)

　　12.1   第一個模型，簡單的AR(1)模型：

　　hat_unem_t = 1.572 + 0.732 unem_t-1

　　　　　　　　 (0.577)  (0.097)

　　n(樣本數) = 48, R2 = 0.544, hat_σ = 1.049

　　12.2   第二個模型，增長經過膨脹率的一年以後，模型以下：

　　hat_unem_t = 1.304 + 0.647 unem_t-1 + 0.184 inf_t-1

　　　　　　　　 (0.577)  (0.097)                (0.041)

　　n(樣本數) = 48, R2 = 0.677, hat_σ = 0.833

　　12.3   全部的樣本數據都是從1948年-1996年度數據。

　　12.4   預測下年，也就是1997年度數據，須要知道1996年的數據，也就是48條樣本中的最後一條以及第二個模型滯後一年(47條)的數據，分別爲：5.4 和 3.0。咱們分別把這兩個值帶入到兩個模型中，就能獲得下一年也就是1997年度的預測值，過程以下：

　　模型1：1.572 + 0.732 × 5.4 = 5.52

　　模型2：1.304 + 0.647 × 5.4 + 0.184 × 3.0 = 5.35

　　12.5   而美國1997年的實際值爲4.9。這兩個模型都高估了數值，可是模型2相對好一些。

　　12.6   而後咱們把預測區間估計出來：

13.   在實際工做中，有些專業預測員能夠固定模型參數，用每一期的預測所用的模型參數保持不變來預測；還有就是新一期數據得到後，更新模型參數，再用更新後的參數預測下一期。（第二種方法須要進行更多的運算，但增長的過作了相對來講是次要的，它可能會（雖然並不必定）更好寫，由於這些迴歸係數至少在必定程度上根據新數據而進行了調整）

14.   樣本內準則和樣本外準則。

　　14.1   就預測而言，使用樣本外準則更好一些，由於預測本質上就是樣本外問題。一個模型也許在用於估計其闡述的樣本中對y擬合的比較好，但並不必定在與測試就有好的表現。一個樣本外準則的方法大體爲：用樣本前一部分取估計模型中的參數，而後用樣本剩餘下來的部分判斷它的預測能力。這就模擬了咱們在不知道變量的未來值所須要的事情。

　　14.2   RMSE = 均方根誤，MAE = 絕對平均偏差。

　　14.3   仍是以上面的爲例子。去固定參數，而後累計外推7次預測值，去觀察RMSE和MAE在樣本外的表現。預測期(1997-2003:7年)。

　　　　　在模型1中：RMSE = 0.962,MAE = 0.778

　　　　    在模型2中：RMSE = 0.673,MAE = 0.628

　　14.4   顯然模型2在樣本外一樣獲得了比較好的結果。

　　14.5   固然，還有一種方法。不去固定參數，而後每作一次預測估計一次參數。

15.   提早多期預測：過程也很是簡單，用預測出來的值，再代入方程，在預測多兩期的預測值，以此類推動行迭代便可。