PageRank簡單實現中的一個錯誤

在個人一篇博客PageRank中，在5.1 算法實現中簡單實現部分本來是有一個錯誤的。這個錯誤也體現出我當時對PageRank算法有理解上的誤差。

---

這是個什麼樣的錯誤呢？是這樣的：

簡單實現中計算每一個網頁的PR值時使用的是最原始的方法，即下面的這個公式：

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 - \alpha)}{N} \]

這個公式要求全部網頁的PR值之和爲1。而我本來的代碼中給每一個網頁賦予的初始PR值的代碼爲：

page_rank = dict.fromkeys(nodes, 1.0)  # 給每一個節點賦予初始的PR值

也就是說，我給出的初始PR值之和爲5（例子中共有5個網頁）。

犯這個錯誤的緣由是我理解錯了「與\(P_0\)的選取無關」這句話。正確的理解應該是：「與\(P_0\)的初始機率分佈無關」。

---

然而，我理解錯了也還有另外一個緣由，那就是我原來的程序中無論給出的初始PR值是多少，最終的PR值都是同樣的。現分析以下：

按照我本來的程序邏輯，我使用的公式應該是這樣的，其中\(G\)爲全部網頁：

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 - \alpha)}{N} \sum_{p_k \in G} PR(p_k) \]

而我卻使用了最原始的公式，形成了：

\[ 每輪迭代，每一個頁面的PR值都減小了 \frac{(1 - \alpha)}{N} * (上輪PR值總和 - 1) \\ \Rightarrow 每輪迭代，PR值總和都減小了 (1 - \alpha) * (上輪PR值總和 - 1) \]

現假設初始PR值總和爲 \(A_0\)，則有：

\[ 最開始，PR值總和爲：A_0 \\ 第一輪迭代以後，PR值總和爲：A_1 = A_0 - (1 - \alpha) (A_0 - 1) = \alpha A_0 + 1 - \alpha \\ 以此類推，則有 \\ A_{n} = \alpha A_{n-1} + 1 - \alpha \\ \Rightarrow A_{n} - 1 = \alpha (A_{n-1} - 1) \\ \Rightarrow A_{n} - 1 = \alpha^{n} (A_{0} - 1) \\ \Rightarrow A_{n} = \alpha^{n} (A_{0} - 1) + 1\\ \because \alpha < 1 \\ \therefore \lim_{n \rightarrow \infty} A_n = 1 \]

即無論初始PR值爲多少，最終其和都將趨於1（若初始值之和小於1，用類似的方法能夠證實）。也就是說，最終結果是同樣的（由於最終趨於1以後就至關於以「PR值總和爲1」的狀況又開始了計算）。這一點在代碼中也有體現：當PR值設置得很大的時候，須要迭代的次數也相應增大。

---

總結：應該使用最上面的公式，同時初始PR值總和應該設置爲1。