強連通份量（超詳細！！！）

1、定義

在有向圖G中，若是兩個頂點u，ｖ間有一條從ｕ到ｖ的有向路徑，同時還有一條從ｖ到ｕ的有向路徑，則稱兩個頂點強連通。若是有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。有向非強連通圖的極大強連通子圖，稱爲強連通份量。

圖中，子圖{1,2,3,4}爲一個強連通份量，由於頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通份量。

2、tarjan算法 時間複雜度是O(N+M)

四條邊：

樹枝邊：DFS時通過的邊，即DFS搜索樹上的邊。

前向邊：與DFS方向一致，從某個結點指向其某個子孫的邊。

後向邊：與DFS方向相反，從某個結點指向其某個祖先的邊。（返祖邊）

橫叉邊：從某個結點指向搜索樹中的另外一子樹中的某結點的邊。

 

Tarjan算法是基於對圖深度優先搜索的算法，每一個強連通份量爲搜索樹中的一棵子樹。搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧，回溯時能夠判斷棧頂到棧中的節點是否爲一個強連通份量。 定義DFN(u)爲節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)爲u或u的子樹可以追溯到的最先的棧中節點的次序號。 由定義能夠得出，Low(u)=Min {Low(u), Low(v) } (u,v)爲樹枝邊，u爲v的父節點 . Low(u)=Min {Low(u), DFN(v) } DFN(v),(u,v)爲指向棧中節點的後向邊(指向棧中結點的橫叉邊) } 當結點u搜索結束後，若DFN(u)=Low(u)時，則以u爲根的搜索子樹上全部還在棧中的節點是一個強連通份量。

算法過程：

從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通份量。退棧到u=v爲止，{6}爲一個強連通份量。

初始化時Low[u]=DFN[u]=++index

返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧後{5}爲一個強連通份量。

 

返回節點3，繼續搜索到節點4，把4加入堆棧。發現節點4向節點1有後向邊，節點1還在棧中，因此LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)爲樹枝邊，因此LOW[3]=LOW[4]=1。

Low(u)=Min {Low(u), DFN(v) } DFN(v),(u,v)爲指向棧中節點的後向邊

 

繼續回到節點1，最後訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，因此LOW[2]=DFN[4]=5。返回1後，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點所有取出，組成一個連通份量{1,3,4,2}。

至此，算法結束。求出了圖中所有的三個強連通份量{1,3,4,2},{5},{6}。

3、tarjan算法用途

一、有向圖的縮點

將同一個強連通份量中的點縮成同一個新結點，對於兩個新結點a,b之間有邊相連，當且僅當存在兩個點u屬於a，v屬於b。

 

 

二、求割點和橋

3、例題

「例 1」受歡迎的牛（信息學奧賽一本通 1513）

【題目描述】

原題來自：USACO 2003 Fall

每一頭牛的願望就是變成一頭最受歡迎的牛。如今有 N 頭牛，給你 M 對整數 (A,B)，表示牛 A 認爲牛 B 受歡迎。這種關係是具備傳遞性的，若是 A 認爲 B 受歡迎，B 認爲 C 受歡迎，那麼牛 A 也認爲牛 C 受歡迎。你的任務是求出有多少頭牛被除本身以外的全部牛認爲是受歡迎的。

【輸入】

第一行兩個數 N,M；

接下來 M 行，每行兩個數 A,B，意思是 A 認爲 B 是受歡迎的（給出的信息有可能重複，即有可能出現多個 A,B）。

【輸出】

輸出被除本身以外的全部牛認爲是受歡迎的牛的數量。

【輸入樣例】

3 3
1 2
2 1
2 3

【輸出樣例】

1

【提示】

樣例說明

只有第三頭牛被除本身以外的全部牛認爲是受歡迎的。

數據範圍：

對於所有數據，1≤N≤104,1≤M≤5×1041≤N≤104,1≤M≤5×104。

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