用位運算實現兩個整數的加減乘除(根據網上內容整理)

1、整數加法

用位運算實現加法也就是計算機用二進制進行運算，32位的CPU只能表示32位內的數，這裏先用1位數的加法來進行，在不考慮進位的基礎上，以下

1. 1 + 1 = 0

2. 1 + 0 = 1

3. 0 + 1 = 1

4. 0 + 0 = 0

很明顯這幾個表達式能夠用位運算的「^」(按位異或)來代替，以下

1. 1 ^ 1 = 0

2. 1 ^ 0 = 1

3. 0 ^ 1 = 1

4. 0 ^ 0 = 0

要獲取進位咱們能夠以下思考：

1. 0 + 0 = 0

2. 1 + 0 = 0

3. 0 + 1 = 0

4. 1 + 1 = 1

5. //換個角度看就是這樣

6. 0 & 0 = 不進位

7. 1 & 0 = 不進位

8. 0 & 1 = 不進位

9. 1 & 1 = 進位

正好，在位運算中，咱們用「<<」表示向左移動一位，也就是「進位」。那麼咱們就能夠獲得以下的表達式：//進位能夠用以下表示：(x&y)<<1

到這裏，咱們基本上擁有了這樣兩個表達式

1. x^y //執行加法

2. (x&y)<<1 //進位操做

咱們來作個2位數的加法，在不考慮進位的狀況下

1. 11+01 = 100  // 原本的算法

2.  

3. // 用推算的表達式計算

4. 11 ^ 01 = 10

5. (11 & 01) << 1 = 10

6.  

7. //到這裏 咱們用普通的加法去運算這兩個數的時候就能夠獲得 10 + 10 = 100

8. //可是咱們不須要加法，因此要想別的方法，若是讓兩個數再按剛纔的算法計算一次呢

9. 10 ^ 10 = 00

10. (10 & 10) << 1 = 100

到這裏基本上就得出結論了，其實後面的那個 「00」 已經不用再去計算了，由於第一個表達式就已經算出告終果。

繼續推理能夠得出三位數的加法只需重複的計算三次獲得第一個表達式的值就是計算出來的結果。

現總結以下：
定理1：設a，b爲兩個二進制數，則a+b = a^b + (a&b)<<1。
證實：a^b是不考慮進位時加法結果。當二進制位同時爲1時，纔有進位，所以 (a&b)<<1是進位產生的值，稱爲進位補償。將二者相加即是完整加法結果。
定理2：使用定理1能夠實現只用位運算進行加法運算。
證實：利用定理1中的等式不停對自身進行迭代。每迭代一次，進位補償右邊就多一位0，所以最多須要加數二進制位長度次迭代，進位補償就變爲0，這時運算結束。

加法的C代碼以下：

int add(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;

    int sum = a ^ b;
    int carry = (a & b) << 1;

    return add(sum, carry);
}

2、整數減法

減法只是將減數取補碼（按位取反，加1），而後相加。

減法的C代碼以下：

int sub(int a, int b)
{
    return add(a, add(~b, 1));
}

3、整數乘法

乘法就是將乘數寫成(2^0)*k0 + (2^1)*k1 + (2 ^2)*k2 + ... + (2^31)*k31，其中ki爲0或1，而後利用位運算和加法就能夠了。

乘法的C代碼以下：

int mul(int a, int b)
{
    int res = 0;
    for (int i = 1; i; i <<= 1, a <<= 1)
       if (b & i)
           res = add(res, a);

    return res;
}

4、整數除法

除法就是由乘法的過程逆推，依次減掉（若是夠減的話）divisor << 3一、divisor << 30、... 、divisor << 二、divisor << 一、divisor（要保證不能溢出）減掉相應數量的除數就在結果加上相應的數量。

除法的C代碼以下：

int div(int a, int b){    int sign = 1;    if (a & (1 << 31))    {        a = ~sub(a, 1);        sign ^= 1;    }    if (b & (1 << 31))    {        b = ~sub(b, 1);        sign ^= 1;    }    int res = 0;    for (int i = 0x8000; i; i >>= 1)        if ((a >> i & 0xFFFF) >= b)        {            res = add(res, 1 << i & 0xFFFF);            a = sub(a, b << i & 0xFFFF);        }    if (!sign)        res = ~sub(res, 1);    return res;}