第4章字符串、數組和特殊矩陣

時間 2020-10-05

標籤 node 算法數組 spa 設計指針 code blog 字符串 string 欄目應用數學简体版

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第4章字符串、數組和特殊矩陣

1、字符串

1.1 字符串的基本概念

字符串：由 \(0\) 個或多個字符構成的有限序列，元素類型爲字符型的特殊線性表

1.2 字符串類的定義

1.3 字符串的存儲及其實現

順序存儲字符串：順序串
鏈式存儲字符串：鏈式串

1.3.1 順序串

順序串經常使用操做：
1. 順序串的插入算法
2. 順序串的刪除算法
3. 順序串的鏈接運算算法
4. 求順序串子串的算法

1.3.1.1 順序串的存儲結構

#define MAXSIZE 100
typedef struct{
    char str[MAXSIZE];
    int length;
} seqstring;

1.3.2 鏈式串

鏈式串的經常使用操做：
1. 鏈式串的建立算法
2. 鏈式串的插入算法
3. 鏈式串的刪除算法
4. 鏈式串的鏈接算法
5. 求鏈式串子串的算法

1.3.2.1 鏈式串的存儲結構

typedef struct node{
    char data;
    struct node *next; // 用於存放字符串中的每一個字符
} linkstrnode; // 用於指向本字符的下一個字符對應的結點的指針
typedef linkstrnode * linkstring;

2、字符串的模式匹配

2.1 樸素的模式匹配算法

注：暴力求解，逐個匹對，時間複雜度 \(O(nm)\)，\(n\) 是正文的長度，\(m\) 是模式串的長度

2.2 模式匹配算法（KMP算法）

算法步驟（大機率不考）node
圖kmp模式匹配流程：算法

2.2.1 next數組求解

\(next\) 數組求解步驟：
1. 第 \(1\) 位：\(-1\)
2. 第 \(2\) 位：\(0\)
3. 第 \(n\) 位：比較前 \(n-1\) 位，得出最長先後綴長度爲 \(k\)，填 \(k\)

3、數組（大綱未規定）

3.1 數組和數組元素

3.2 數組類的定義

3.3 數組的順序存儲及實現

4、特殊矩陣

特殊矩陣：對稱矩陣、三角矩陣、帶狀矩陣、稀疏矩陣

4.1 對稱矩陣的壓縮存儲

對稱矩陣元素位置的計算（\(L\) 爲每一個元素佔用存儲空間的長度）：

\[address(a_{ij}) = \begin{cases} & address(a_{00}) + [\frac{i*(i+1)}{2}+j]*L \qquad \text{當i>=j時}\\ & address(a_{00}) + [\frac{j*(j+1)}{2}+i]*L \qquad \text{當i<j時} \end{cases} \]

4.2 三角矩陣的壓縮存儲

4.2.1 下三角矩陣

下三角矩陣元素位置的計算（\(L\) 爲每一個元素佔用存儲空間的長度）：

\[address(a_{ij}) = address(a_{00}) + [\frac{i*(i+1)}{2}+j]*L \qquad \text{當i>=j時}\\ \]

4.2.2 上三角矩陣

上三角矩陣元素位置的計算（\(L\) 爲每一個元素佔用存儲空間的長度）：

\[\begin{aligned} address(a_{ij}) &= address(a_{00}) + [(n+(n-1)+(n-2)+\cdots+(n-(i-1)))+j-i]*L \\ &= address(a_{00}) + [i*n-\frac{(i-1)*i}{2}+j-i]*L \qquad \text{當i<=j時} \end{aligned} \]

注：\((n+(n-1)+(n-2)+\cdots+(n-(i-1)))\) 表示 \(a_{ij}\) 前面的 \(i\) 行全部元素佔用的空間；\(j-i\) 表示 \(a_{ij}\) 所在行的 \(a_{ij}\) 前面的元素所佔用的空間

4.3 帶狀矩陣的壓縮存儲

帶狀矩陣：除第 \(1\) 行和最後一行外，每行都分配 \(2b+1\) 個元素的空間。可是把帶狀區域的全部元素存儲於 \(((2b+1)*n-2b)*L\) 個存儲單元中
帶狀矩陣元素位置的計算（\(L\) 爲每一個元素佔用存儲空間的長度）：

\[\begin{aligned} address(a_{ij}) &= address(a_{00}) + ((i*(2b+1)-b)+(j-(i-b)))*L \\ &= address(a_{00}) + (i*(2b+1)+j-i)*L \qquad \text{當|i-j|<=b時} \end{aligned} \]

注：\((i*(2b+1)-b)\) 表示 \(a_{ij}\) 前面的 \(i\) 行全部元素佔用的空間；\((j-(i-b)))\) 表示 \(a_{ij}\) 所在行的 \(a_{ij}\) 前面的元素所佔用的空間

5、稀疏矩陣

5.1 稀疏矩陣類的定義

5.2 稀疏矩陣的順序存儲及其實現

稀疏矩陣的順序存儲方法：三元組表示法、帶輔助行向量的二元組表示法、僞地址表示法
三元組表示法：\((i,j,value)\)，其中 \(i\) 表示行，\(j\) 表示列，\(value\) 表示值
注：三元組矩陣中第一行通常體現稀疏矩陣的行數、列數和所含非零元素的總個數
稀疏矩陣順序存儲經常使用操做：
1. 產生稀疏矩陣的三元組表示
2. 稀疏矩陣三元組表示下轉置運算的實現

5.2.1 稀疏矩陣順序存儲（三元組）存儲結構

typedef struct {
    int data[100][100]; // 存放稀疏矩陣的二維數組
    int m, n; // 分別存放稀疏矩陣的行數和列數
} matrix;
typedef int spmatrix[100][3]; // 存放三元組

5.3 稀疏矩陣的鏈式存儲及實現（大機率不考）

稀疏矩陣的鏈式存儲方法：十字鏈表表示法、帶行指針向量的單鏈表表示法、行_列表示法數組
非零元素結點的結構中有 \(5\) 個域：行域（\(row\)）、列域（\(col\)）、數據的值域（\(val\)）、指向同一列下一個非零元素的指針域（\(down\)）、指向同一行下一個非零元素的指針域（\(right\)）spa
表頭結點的結構中有 \(5\) 個域：行域（\(row\)）默認爲 \(0\)、列域（\(col\)）默認爲 \(0\)、指向下一個表頭的指針域（\(next\)）、指向同一列下一個非零元素的指針域（\(down\)）、指向同一行下一個非零元素的指針域（\(right\)）設計
稀疏矩陣的鏈式存儲經常使用操做：指針
1. 建立稀疏矩陣的十字鏈表表示
2. 稀疏矩陣十字鏈表的查找算法
稀疏矩陣的十字鏈表存儲方法以下圖所示：code
圖稀疏矩陣的十字鏈表表示法：blog

5.3.1 稀疏矩陣鏈式存儲（十字鏈法）存儲結構

typedef struct matrixnode {
    int row, col;
    struct matrixnode *right, *down;
    union {
        int val;
        struct matrixnode *next;
    } tag;
} matrixnode;
typedef matrixnode *spmatrix;
typedef spmatrix headspmatrix[100]; // 指針數組，每一個元素指向一個表頭結點

6、算法設計題

7、錯題集

稀疏矩陣經常使用的壓縮存儲方法有三元組順序存儲和十字鏈表兩種
設有一個 \(10×10\) 的對稱矩陣 \(A\) 採用壓縮方式進行存儲，存儲時以按行優先的順序存儲其下三角陣，假設其起始元素\(a_{00}\) 的地址爲 \(1\)，每一個數據元素佔 \(2\) 個字節，則 \(a_{65}\) 的地址爲 \(53\)（元素 \(a_{00}\) 的地址爲 \(1\)，不是 \(2\)）