算法學習筆記(7)------catalan數

今天看到阿里有道筆試題，涉及到catalan數（貌似是13年的），而後總結一下catalan數。

1. catalan數描述:設c(1)=1,catalan數知足遞歸式c(n)=c(1)c(n-1)+c(2)c(n-2)...c(n-1)c(1).通用公式爲c(n)=C(n,2n)/(n+1)
   

2. 其實問題能夠轉述爲：假設有n個數順序入棧，則可能出棧的方式有多少種？好比有3個數1 2 3，出棧的方式爲1 2 三、2 1 三、1 3 二、3 2 一、2 3 1共有5種。思考：入棧的操做有n步，出棧的操做也有n步，若是咱們用1表示入棧，0表示出棧，這至關於對2n個數進行全排列，其限制條件爲：從左到有掃描這2n個數，1的累積次數必須不得少於0的次數。

3. 證實以下：首先不考慮限制條件，就至關於對2n個數進行全排列，根據排列組合知識，很容易獲得總共的排列方法有C(2n,n)的方式，接下來剔除符合限制條件的方式便可。咱們能夠這樣考慮，假設在第2m+1位置上(含)，0的個數爲m+1，1的個數爲m，這從2m+2到2n的位置中總共有n-m-1個0，n-m個1，若是咱們2m+2到2n的位置上全部的0，1進行反轉，即0->1，1->0，則其後0的個數變爲n-m，1的個數變爲n-m-1，那麼這個2n數中1的個數總共爲n-1,0的個數爲n+1。也就是說，對於總共2n個數，若是有n+1個0，n-1個1，則在某個奇數位置必存在0的累積個數大於1的累積個數。即n+1個0和n-1個1必對應一個不符合要求的數。 用上述方法創建由n-1個1和n+1個0組成的2n個數，與由n個1和n個0組成的2n個數進行一一對應。例如:10100101由4個1和4個0組成的8位二進制數，但在第5個位置0的累積個數爲3,1的累積個數爲0，則對應3個1和2個0組成的10100010，所以不符合要求的2n個數與n-1個1和n+1個0組成的2n個數一一對應，故結果爲C(2n,n)-c(2n,n+1)

4. catalan數的應用挺普遍的，主要應用於如下幾類問題:

   (1)括號化問題
   矩陣鏈乘： P=a1*a2*a3*……*an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案
   (2)出棧次序問題
   有2n我的排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n我的有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視做將5元入棧，持10元者到達視做使棧中某5元出棧)
   (3)將多邊行劃分爲三角形問題
   在圓上選擇2n個點,將這些點成對鏈接起來使得所獲得的n條線段不相交的方法數?
   (4)單調路徑問題
   一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均爲向上或向右，不能越過對角線
   

不過咱們彷佛沒有用到catalan數的遞歸，好比若是須要咱們輸出出棧的順序，則怎麼設計?先mark一下，晚上我再糾結。。。