串的兩種模式匹配方式（BF/KMP算法）

前言

串，又稱做字符串，它是由0個或者多個字符所組成的有限序列，串一樣能夠採用順序存儲和鏈式存儲兩種方式進行存儲，在主串中查找定位子串問題（模式匹配）是串中最重要的操做之一，而不一樣的算法實現有着不一樣的效率，咱們今天就來對比學習串的兩種模式匹配方式：

• 樸素的模式匹配算法（Brute-Force算法，簡稱BF算法）

• KMP模式匹配算法

樸素的模式匹配算法（BF算法）

BF算法是模式匹配中的一種常規算法，它的思想就是：

• 第一輪：子串中的第一個字符與主串中的第一個字符進行比較
  • 若相等，則繼續比較主串與子串的第二個字符
  • 若不相等，進行第二輪比較
• 第二輪：子串中的第一個字符與主串中第二個字符進行比較......
• 第N輪：依次比較下去，直到所有匹配

圖示說明：

第一輪：

第二輪：

...... 原理一致，省略中間步驟

第五輪：

第六輪：

代碼實現：

看完文字與圖例講解，咱們來動手實現一個這樣的算法

簡單概括上面的步驟就是：

主串的每個字符與子串的開頭進行匹配，匹配成功則比較子串與主串的下一位是否匹配，匹配失敗則比較子串與主串的下一位，很顯然，咱們可使用兩個指針來分別指向主串和子串的某個字符，來實現這樣一種算法

匹配成功，返回子串在主串中第一次出現的位置，匹配失敗返回 -1，子串是空串返回 0

int String::bfFind(const String &s, int pos) const {
    //主串和子串的指針，i主串，j子串
    int i, j;
    //主串比子串小，匹配失敗，curLenght爲串的長度
    if (curLength < s.curLenght)
        return -1;
    
    while (i < curLength && j < s.curLength) {
        //對應字符相等，指針後移
        if (data[i] == s.data[j])
            i+, j++;
       	else {	//對應字符不相等
            i = i -j + 1;	//主串指針移動
            j = 0; //子串從頭開始
        }
        //返回子串在主串的位置
        if (j >= s.curLength) 
            return (i - s.curLength);
        else return -1;    
    }
}
複製代碼

注：代碼只爲體現算法思路，具體定義未給出

這種算法簡單易懂，卻存在着一個很大的缺點，那就是須要屢次回溯，效率低下，若主串爲 000000000001 子串爲00001，這就意味着每一輪都要比較到子串的最後一個字符纔會匹配失敗，有沒有更好的辦法呢？下面的KMP模式匹配算法就很好的解決了這一問題

KMP模式匹配算法

若是僅僅進行一些少許數據的運算，可能你甚至以爲BF算法也還行，起碼是很容易寫出來的，畢竟能跑的就是好程序，可是一旦數據量增大，你就會發現有一些 「無用功」 真的會大大的拖慢你的速度

KMP模式配算法是由 D.E.Knuth，J.H.Morris，V.R.Pratt 三位前輩提出的，它是一種對樸素模式匹配算法的改進，核心就是利用匹配失敗後的信息，儘可能減小子主串的匹配次數，其體現就是 主串指針一直日後移動，子串指針回溯

圖示說明：

下面所表示的是樸素模式匹配算法的過程，咱們看看若是使用KMP算法的思想，哪些步驟是能夠省略掉的

① 中前五個元素，均互相匹配，知道第六個元素才匹配失敗，按照BF算法來講，就直接進行 ② ③ 操做，可是，咱們能夠發現，子串中的前三個元素 a b c 均不是相同的，可是在 ① 中已經與 主串相匹配，因此 子串分別與主串中的第二 第三個元素匹配 必定是不匹配的，因此圖中的 ② ③ 都可以省略

在 ① 中 子串中的 第一第二個元素 ab 和第四第五個元素 ab 是相同的，且 第四第五個元素 ab 已經與主串中的 第四第五個元素匹配成功，這意味着，子串中第一第二個元素 ab 必定與 主串中 第四第五個元素相匹配，因此 ④ ⑤ 步驟能夠省略

若是按照這種思路，上面的例子只須要執行 ① 和 ⑥ 就能夠了

next 數組值推導

(一) 主串指針是否須要回溯

咱們觀察上面的兩種過程 ，BF算法-①②③④⑤⑥，KMP算法-①⑥，若是咱們如今假定有兩個指針，i 和 j，分別指向主串和子串中的所處位置，從上圖咱們能夠知道，主串指針，也就是 i 的值在 ① 的狀態下， 指針指向6的位置，而在 ②③④⑤ 中卻分別指向了2345，而在 ⑥ 中仍指向6的位置

這說明，樸素模式匹配算法，主串的 i 值會不斷的進行回溯，可是 KMP模式匹配算法將這種不必的回溯省略掉了，因此減小了執行次數

(二) 子串指針優化總結

既然主串指針不進行回溯，那麼還能夠優化的就是 子串指針了，通常會遇到兩種狀況 咱們舉兩個例子：

• 若是子串爲 abcdef，主串爲abcdexabcdef，當第一輪匹配到第六個字符f和x的時候，匹配失敗了，這個時候若是按照樸素模式匹配，就須要拿子串的首元素a去分別和主串的bcde進行比較，可是因爲子串f元素前的元素中沒有相同的元素，而且與主串匹配，因此a與主串中的2-5號元素 即 bcde 都是不可能相匹配的，全部這幾部均可以省略，直接讓a和主串中的x去匹配

• 若是子串爲abcabx，主串爲abcababcax，在第一輪中，前五個元素子主串分別相匹配，第六個元素位置出錯，按照樸素模式匹配，咱們須要拿子串首元素a，依次與主串中的a後面的元素匹配，可是子串前面三個字符abc是不相等的，按照咱們第一種狀況的經驗，就直接跳過這些步驟了，全部咱們直接拿 子串a與 主串第四個元素a進行比較就能夠了，可是咱們發現，子串中出錯的位置x前的串 abcab 的前綴和後綴都是 ab，既然第一輪的時候，已經匹配成功，那就意味着，子串中的 第一第二個元素ab必定與 主串中 第四第五個元素 ab相等，因此這個步驟也能夠省略，也就直接能夠拿子串前綴ab後面的c開始於a進行比對，這也就是咱們上面圖中例子的詳細思路

總結：因此咱們得出規律，子串指針的值取決於，子串先後綴元素的類似程度

想要應用到具體代碼中，咱們能夠把子串位置變化 的 j 值定義成一個next數組，且長度與子串長度相同

• 狀況1：當 j = 0 時，next[j] = -1, 表示子串指針指向下標爲0的元素的時候匹配失敗，子串沒法回溯，(j不能賦值-1) ，此時將主串指針後移一位，子串不，進行下一輪比較

• 狀況2：在已經匹配的子串中，存在相同的前綴串 T₀ T₁ ... T_k-1 和後綴串 T_j-k T_j-k+1 ... T_j-1，子串指針則回溯到next[j] = k的位置，而後進行下一趟比較，例如：子串 abcabc 有相同前綴和後綴ab 因此子串指針回溯到 c的位置

• 狀況3：在已經匹配的子串，若不存在相等的前綴和後綴，則主串指針不動，子串指針回溯到 j = 0 的位置，而後進行下一趟比較

例：主串 S = 「abc520abc520abcd」, 子串 T = "abc520abcd" ，利用 KMP算法匹配過程

子串 next 數組

j	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
子串	a b c 5 2 0 a b c d
next[j]	-1 0 0 0 0 0 0 1 2 3

能夠看到，在 指針 i = 9 且 j = 9 的時候，匹配失敗， 此時 next[9] = 3 ，因此子串指針回溯到 下標 j = 3 的位置也就是元素 5 的位置，進行第二輪比較，而後正好所有匹配成功

(三) 求next數組算法實現

void Stirng::getNext(const String &t, int *next) {
    int i = 0, j = -1;
    next[0] = -1;
    while (i < t.curLength - 1) {
        if ((j == -1) || t[i] == t[j]) {
            ++i, ++j;
            next[i] = j;
        }else{
            j = next[j];
        }
    }
}
複製代碼

KMP算法代碼實現

有了 next 數組的鋪墊，咱們就能夠來實現KMP算法了

匹配成功返回子串在主串中第一次出現的位置，失敗返回-1，子串爲空串返回0

int String::kmpFind(const String &t, int pos) {
    //不容許申請大小爲0的數組
    if (t,curLength == 0) return 0;
    //若是主串比子串小，匹配失敗
    if(t.curLength < t.curLength) return -1;
    //主串指針i，子串指針j
    int i = 0, j = 0;
    int *next = new int[t.curLrngth];
    getNext(t,next);
    while (i < curLength && j < t,curLength) {
        if (j == -1 || data[i] == t.data[j])	//狀況12
            i++, j++;
   		else	//狀況3
           	j = next[j];
    }
    delete []next;
    if (j > t.curLength)
        return (i - t.curLength)
    else
        return -1;
}
複製代碼

KMP模式匹配算法改進

有一種特殊狀況的出現，使得咱們不得不考慮KMP算法的改進

那就是子串中有多個連續重複的元素，例如主串 S=「aaabcde」 子串T=「aaaaax」 在主串指針不動，移動子串指針比較這些值，其實有不少無用功，由於子串中前5個元素都是相同的a，因此咱們能夠省略掉這些重複的步驟

void String::getNextVal(const String &t, int *nextVal) {
    int i = 0, j = -1;
    nextVal[0] = -1;
    while (i < t.curLength -1) {
        if ((k == -1) || (t[i] == t[j])) {
            ++i, ++j;
            if (t[i] != t[j])
                nextVal[i] = j;
            else
                nextVal[i] = nextVal[j];
        }
        else 
            j = nextVal[j];
    }
}
複製代碼

這種改進的核心就在於 增長了對子串中 t[i] 和 t[j] 是否相等的判斷，相等則直接將 nextVal[j] 的值賦給 nextVal[i]

總結

在BF算法中，當主串和子串不匹配的時候，主串和子串你的指針都須要回溯，因此致使了該算法時間複雜度比較高爲 O(nm) ，空間複雜度爲 O(1) 注：雖然其時間複雜度爲 O(nm) 可是在通常應用下執行，其執行時間近似 O(n+m) 因此仍被使用

KMP算法，利用子串的結構類似性，設計next數組，在此之上達到了主串不回溯的效果，大大減小了比較次數，可是相對應的卻犧牲了存儲空間，KMP算法 時間複雜度爲 O(n+m) 空間複雜度爲 O(n)

結尾：

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