51nod - 1022【四邊形不等式優化DP】

1022 石子歸併 V2

基準時間限制：1 秒 空間限制：131072 KB 分值: 160 難度：6級算法題

收藏

關注

N堆石子擺成一個環。現要將石子有次序地合併成一堆。規定每次只能選相鄰的2堆石子合併成新的一堆，並將新的一堆石子數記爲該次合併的代價。計算將N堆石子合併成一堆的最小代價。

 

例如： 1 2 3 4，有很多合併方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

 

括號裏面爲總代價能夠看出，第一種方法的代價最低，如今給出n堆石子的數量，計算最小合併代價。

Input

第1行：N（2 <= N <= 1000)
第2 - N + 1：N堆石子的數量（1 <= A[i] <= 10000)

Output

輸出最小合併代價

Input示例

4
1
2
3
4

Output示例

19

題解：

設dp[i][j]表示區間 i -> j的最低代價; 則dp[i][j]  = min(dp[i][k], dp[k+1][j]) + sum[j]-sum[i-1]; ( i: n->1, j: i -> n);

須要 n^3 的複雜度，利用四邊形定理來優化，環狀能夠*2處理成線性。按照個人遞推方向求dp[i][j]的時候，全部的左邊界大於i，右邊界小於j的區間都被更新過且是最優。

所以在求s[i][j]的時候，從 s[i][j-1] ~ s[i+1][j] 來進行決策更新。另外一種遞推方向是能夠寫成 s[i-1][j] ~ s[i][j+1]的，取決本身的遞推方向。

關於s函數的單調性須要再學習。（知足化學主族元素的非金屬性，即 左 -> 右，上 -> 下，愈來愈大）

代碼：

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdio>
 5 #include <bitset>
 6 #include <vector>
 7 #include <queue>
 8 #include <stack>
 9 #include <cmath>
10 #include <list>
11 #include <set>
12 #include <map>
13 #define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++ i)
14 #define per(i,a,b) for(int i = a;i >= b;-- i)
15 #define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
16 #define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
17 #define FOUT freopen("out.txt","w",stdout)
18 #define IO ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
19 #define mid ((l+r)>>1)
20 #define ls (id<<1)
21 #define rs ((id<<1)|1)
22 #define N 2010
23 #define INF 0x3f3f3f3f
24 #define INFF ((1LL<<62)-1)
25 typedef long long LL;
26 using namespace std;
27 
28 int n, m, T, c[N], s[N][N], sum[N], dp[N][N];
29 int main()
30 {IO;
31     //FIN;
32     while(cin >> n){
33         sum[0] = 0;
34         rep(i, 1, n){ 
35             cin >> c[i]; 
36             sum[i] = sum[i-1] + c[i]; 
37         }
38         rep(i, 1, n){
39             c[i+n] = c[i];
40             sum[i+n] = sum[i+n-1]+c[i+n];
41         }
42 
43         mem(dp, 0);
44         per(i, n*2, 1){
45             rep(j, i, n*2){
46                 if(i == j)    { s[i][j] = i; continue; }
47                 dp[i][j] = INF;
48                 LL res = sum[j]-sum[i-1];
49                 rep(k, s[i][j-1], s[i+1][j]){
50                     if(dp[i][k]+dp[k+1][j]+res < dp[i][j]){
51                         dp[i][j] = dp[i][k]+dp[k+1][j]+res;
52                         s[i][j] = k;
53                     }
54                 }
55             }
56         }
57         int ans = INF;
58         rep(i, 1, n)    ans = min(ans, dp[i][i+n-1]);
59         cout << ans << endl;
60     }
61     return 0;
62 }

View Code