所謂花，就是以下圖所示的一個奇環： 
算法
本文中粗邊表明如今的匹配邊，細邊表明該點的前驅（後文會講解前驅是什麼，如今只須要知道每一個點和它的前驅在原圖中必定是有邊的）。blog
如圖所示，一朵包含$2k+1$個點的花必定至多包含$k$條匹配邊，因而總會剩下一個未匹配的點，上圖中即爲$1$號點。隊列
那麼咱們能夠發現，若是有另一個點想要與花中的某個點$v$匹配，那麼有兩種狀況：一、$v$是未匹配的點（即1號點），那麼直接與$v$匹配便可。二、$v$是已經匹配的點，這時只要將花中的匹配情況修改，使得$v$變成未匹配的那個點便可。class
綜上所述，只要花中的點沒有向外匹配，咱們老是可使得外部的一個點和花中任意一個點匹配，所以花的性質和點其實很類似。咱們將花縮成一個點來處理，就能夠解決出現奇環的問題。以上思想就是帶花樹算法的核心。擴展
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帶花樹算法的過程其實和$bfs$版本的匈牙利是很類似的，都是找出一個交錯樹，交錯樹可能長這樣（注意每一個藍色點可能有多個橙色兒子，可是每一個橙色點只能有一個藍色兒子）： img
其中1號點就是咱們嘗試增廣的節點，在這裏咱們給每個節點一個$type$值，若該點不在交錯樹中，它的$type$值爲$0$，不然爲$1$或$2$。上圖中咱們用藍色點表明$type=1$的點，橙色點表明$type=2$的點，不難看出$type$值的不一樣其實表明了一種相似於二分圖的關係，每一個點在交錯樹中只和$type$值不一樣的點相連。當咱們沒有找到奇環的時候，$type$值和二分圖是等價的。di
那麼仿照匈牙利的過程，咱們將嘗試增廣的點$v$的$type$值設爲$1$並開始增廣，假設當前處理的點爲$u$：思考
一、若是$type_u=0$，就表明它不在交錯樹中：co
當$u$已經有匹配時，咱們就擴展這棵交錯樹，將$type_u$的值設爲$2$（由於其和$type$值爲$1$的$v$相鄰），並將$type_{match_u}$的值設爲$1$（同理）。這時咱們就能夠把$match_u$塞進隊列裏了，若是可以沿着$match_u$找到增廣路的話咱們就可讓$match_u$匹配那個增廣的點並將$u$與$v$匹配，這樣就使匹配數增長了$1$。同時咱們將$u$的前驅（用$pre_u$表示）設置爲$v$，這是爲了方便在找到增廣路之後一路返回修改匹配。
當$u$並無匹配時，咱們就成功找到了一條增廣路，此時沿着由$pre$和$match$連成的邊一路修改就增廣完成了，返回。
二、若是$type_u=2$，表明你找到了一個偶環，並無什麼用，就跳過這個點。
三、這裏是最重點的，若是$type_u=1$，表明你找到了一個奇環，這就表明你的$type$值再也不等價於二分圖了，咱們這個時候就能夠開始「縮花」操做，將咱們找到的奇環縮成一個點。讓咱們具體的考慮一下：
首先，快速找到哪些點在這個奇環中，顯然$u$和$v$必定都出如今交錯樹上（$type$不爲$0$），結合上面的那張圖考慮，奇環的範圍就是兩個點在交錯樹上的鏈中包含的全部點，所以咱們須要找到這兩個點的$lca$，這裏直接採用暴力向上跳的作法便可。
找到之後怎麼鏈接$pre$邊呢？咱們參考一下文章開頭的結構，能夠發現此時的$lca$必定就是那個花中惟一的沒有匹配或者匹配到外面節點的$1$號點。所以感性思考一下，咱們應該「誘導」其餘全部的點經過$pre$和$match$邊一路走走到$lca$上，所以將除了與$lca$相連的$pre$邊外其餘的$pre$邊都改成雙向邊，並將$u$和$v$也改爲雙向邊便可達到這個目的。
最後作一點掃尾工做，咱們能夠經過並查集將奇環縮成一個點（所以在普通增廣的時候也要考慮並查集的狀況），不妨用$lca$作這朵花的表明。同時再考慮一下這個新點的$type$值應該設爲何，由於每一個橙色點最多隻有一個兒子（它的匹配點），所以$lca$必定是藍色點，所以新點的$type$值爲$1$，因此要注意將花中全部$type$值爲$2$的點修改成$1$而且加入隊列。
當咱們找不到新的點時，本次增廣失敗。
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以上就是通常圖最大匹配的增廣過程，注意在每次增廣以前，$pre$，$type$以及並查集都是要初始化的。將並查集的複雜度看做常數，則每次增廣至可能是$O(m)$的，一共須要增廣$O(n)$次，所以帶花樹算法的複雜度和匈牙利同樣，都是$O(nm)$，固然，在實踐中帶花樹算法跑得通常會比理論上界快不少。
相信在熟練理解帶花樹的過程後必定能寫出代碼，所以爲了避免對讀者形成思惟定式影響這裏就不貼代碼了。完結撒花~