哈夫曼樹

 哈夫曼樹(Huffman tree)也稱最優二叉樹。每一個葉子節點都有一個權值，就是一個有意義的數據值，通常取正整數。

 一個二叉樹具備N個帶權值的葉子節點，從根節點到各個子節點的路徑長度和相應權值的的乘積之和就作二叉樹的帶權路徑長度。

 WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)

 帶權路徑長度最小的稱爲哈夫曼樹。

 算法描述以下

（1）初始化：給定的n個權值{W1,W2,...,Wn}構造n棵只有一個根節點的二叉樹，獲得一個二叉樹的集合F={T1,T2,...,Tn}.

（2）選擇和合並：在F中選取根節點的權值最小的兩棵二叉樹分別做爲左右子樹構造一棵新的二叉樹，這課二叉樹的根節點的權值爲其左右子樹根節點的權值之和。

（3 ）刪除和加入：在F中刪除做爲左右子樹的兩棵二叉樹，將新建的二叉樹加入到F中。

（4）重複2，3操做，在F只剩一棵二叉樹結束，這棵二叉樹叫作哈夫曼屬。

 一棵哈夫曼樹的非葉子節點度都爲2，如今具備n個葉子節點的哈夫曼樹共有2n-1個節點。怎麼算的了？二叉樹的性質可知，葉子節點的個數N0，度爲2的節點的個數爲N2，則N0 = N2 + 1。因此哈夫曼樹n = n2 + 1；n2 = n - 1；n2 + n = 2n - 1；

 下面是代碼實現，使用數組保存哈夫曼樹的節點信息

                  

#include <iostream>
using namespace std;
 
struct element
{
    /**
     * @brief weight 權值
     */
    int weight;
    /**
     * @brief lchild 左孩子
     */
    int lchild;
    /**
     * @brief rchild 右孩子
     */
    int rchild;
    /**
     * @brief parent 父親
     */
    int parent;
};
 
/**
 * @brief selectTwoMins 從根節點中取出兩個最小權值的節點
 * @param tree 樹
 * @param min1 第一小下標
 * @param min2 第二小下標
 * @param n 當前的構成中的樹的節點數
 */
 
void selectTwoMins(element tree[],int &min1,int &min2,int n)
{
    int t = 0;//第一小權值
    int t1 = 0;//第二小權值
    for (int i = 0;i < n;++i) {
        if (tree[i].parent == -1) {//只操做根節點
            if (t == 0) {
                t = tree[i].weight;//第一小權值賦予初值
                min1 = i;
            } else if (t1 == 0) {
                if (t > tree[i].weight) {//第二小權值賦予初值，若是第一比第二大，則互換
                    min2 = min1;
                    min1 = i;
                    t1 = t;
                    t = tree[i].weight;
                } else {
                    min2 = i;
                    t1 = tree[i].weight;
                }
            } else if (t < tree[i].weight) {//第一小權值與後續的比較大小，若是小於在比較第二小權值與後續比較大小
                if (t1 > tree[i].weight) {
                    min2 = i;
                    t1 = tree[i].weight;
                }
 
            } else {//第一小權值與後續的比較大，則第一給第二，第一被後續值覆蓋
                min2 = min1;
                t1 = t;
                min1 = i;
                t = tree[i].weight;
            }
        }
    }
}
/**
 * @brief huffmanTree
 * @param tree 樹
 * @param w 權值序列
 * @param n 節點個數
 */
void huffmanTree(element tree[],int w[],int n)
{
    for (int i = 0;i < 2 * n - 1;++i) {//初始化
        tree[i].lchild = -1;
        tree[i].rchild = -1;
        tree[i].parent = -1;
    }
    for (int i = 0;i < n;++i) {//賦予權值
        tree[i].weight = w[i];
    }
    for (int i = n;i < 2 * n - 1;++i) {//增長的節點爲n~2n-2(2n-2-n+1 = n-1個)
        int t = 0;
        int t1 = 0;
        selectTwoMins(tree,t,t1,i);
        tree[i].weight = tree[t].weight + tree[t1].weight;
        tree[t].parent = i;
        tree[t1].parent = i;
        tree[i].lchild = t;
        tree[i].rchild = t1;
    }
}
 
int main()
{
    int n = 4;
    int m = 2 * n - 1;
    element tree[8];
    int w[] = {2,4,5,3};
    huffmanTree(tree,w,n);
    for (int i = 0;i < m;++i) {
        cout << tree[i].weight << "  ";
    }
    return 0;
}