【算法】迭代法

簡單迭代運算

**迭代（輾轉法）**是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程

分類

• 精確迭代：楊輝三角、內在移動算法等
• 近似迭代：二分法和牛頓迭代法等

設計方法

1. 確定迭代模型
   根據問題描述，抽象出當前值和下一個值的迭代關係。這一迭代關係應該最終收斂於所期望的目標。迭代模型時解決迭代問題的關鍵。
2. 控制迭代過程
   迭代模型會包含期望的目標，根據這一目標控制迭代的次數，並最終結束算法。迭代過程的控制通常分爲兩種情況：一種是已知或可以計算出來迭代的次數，這時可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。另一種是所需的迭代次數無法確定，需要分析出迭代過程的結束條件，還要考慮有可能得不到目標解（迭代不收斂）的情況，避免出現迭代過程的死循環。

例題

1

【例題1】輸出楊輝三角形
問題分析
利用一個n*n的矩陣存儲信息。如下

有 $a_{i,j} = a_{i-1,j-1} + a_{i-1,j}$ai,j​=ai−1,j−1​+ai−1,j​
計算模型
$\left\{ \begin{array}{lr} a_{i,i} = 1& & \\ a_{i,0}=1\\ a_{i,j} = a_{i-1,j-1}+a_{i-1,j}&i>1且 1\leq j<i & \end{array} \right.$⎩⎨⎧​ai,i​=1ai,0​=1ai,j​=ai−1,j−1​+ai−1,j​​i>1且1≤j<i​​
算法設計與描述
輸入： $n$n
輸出：楊輝三角
step1: 輸入 $n$n，定義一個n $\times$×n的存儲矩陣 $a$a
step2: 令 $a_{0,0} = 1,a_{1,0} = 1,a_{1,1} = 1$a0,0​=1,a1,0​=1,a1,1​=1, 定義 $i = 2$i=2
step3: 令 $a_{i,0} = 1,a_{i,i} = 1$ai,0​=1,ai,i​=1，定義 $j = 1$j=1
step4: 令 $a_{i,j} = a_{i-1,j-1}+a_{i-1,j},j = j + 1$ai,j​=ai−1,j−1​+ai−1,j​,j=j+1,若 $j<i$j<i,轉step4
step5: 令 $i = i + 1$i=i+1，若 $i < n$i<n 轉step3
step6: 打印輸出矩陣 $a$a，算法結束
算法分析

1. 輸入 $n$n，規模爲 $n$n
2. 核心操作： $a_{i,j} = a_{i-1,j-1}+a_{i-1,j}$ai,j​=ai−1,j−1​+ai−1,j​
3. 得出 $T(n) = \sum_{i=2}^{n-1}(2 + \sum_{j=1}^{i-1}1)+3 = \Theta(n^2)$T(n)=∑i=2n−1​(2+∑j=1i−1​1)+3=Θ(n2)

2

【例題2】內存移動問題：數組中有n個數據，要將它們順序循環向後移k位，即前面的元素向後(右)移k位，後面的元素則循環向前移k位，例：0、1、2、3、4、5循環移3位後爲： 3、4、5、0、1、2。考慮到n會很大，不允許用2*n及以上個空間來完成此題。
問題分析
設原數列爲 $a[n]$a[n]，移動k次。

1. 建立一個數列 $b[n]$b[n],令 $b[(k+i)\;mod\;n] = a[i] , i \in [0,n-1]$b[(k+i)modn]=a[i],i∈[0,n−1]
   此時，時間複雜度爲 $O(n)$O(n),空間複雜度爲 $O(2n)$O(2n),不符合題目要求。
2. 建立臨時變量 $tmp$tmp，令 $tmp = a[n-1]$tmp=a[n−1]，然後從 $a[n-2]$a[n−2]開始所有位右移一位，最後，令 $a[0]=tmp$a[0]=tmp,實現右移一位，循環實現右移k位。
   此時，時間複雜度爲 $O(k\times n)$O(k×n)，空間複雜度爲 $O(n+1) = O(n)$O(n+1)=O(n)
3. 如果按照2的方法將元素直接移動至指定位置，那麼時間複雜度爲 $O(n)$O(n)，空間複雜度爲 $O(n)$O(n)。
   如：n = 6，k = 3的情況，將 $a[0]\to a[3]$a[0]→a[3], $a[3]\to a[0]$a[3]→a[0]; $a[1]\to a[4]$a[1]→a[4], $a[4]\to a[1]$a[4]→a[1], $a[2]\to a[5]$a[2]→a[5], $a[5]\to a[2]$a[5]→a[2]，共需要移動3輪，每輪移動元素個數爲2。
   不難發現，此時
   $移動輪數 = gcd(n,k)$移動輪數=gcd(n,k)
   下面給出證明：
   令 $gcb(n,k) = q$gcb(n,k)=q，每輪最少移動元素個數爲 $r$r
   從而有： $n = q \times n_1 , k = q \times n_2\quad n_1,n_2\in Z$n=q×n1​,k=q×n2​n1​,n2​∈Z 且 $gcb(n_1,n_2) = 1$gcb(n1​,n2​)=1
   由每輪第一次移動的元素要和最後一次移動到的元素相同可得： $(k\times r)\; mod\; n = 0$(k×r)modn=0
   從而推出： $(n_2\times r)\; mod\; n_1 = 0$(n2​×r)modn1​=0
   由 $gcb(n_1,n_2) = 1$gcb(n1​,n2​)=1可得： $gcb(n_1,r) = n_1$gcb(n1​,r)=n1​
   $r$r 爲每輪最小移動次數，取 $n_1$n1​，此時移動輪數爲 $n/r = q$n/r=q

下文主要講述第三種方法
計算模型

1. 求出最大公約數，由歐幾里得
   $\left\{ \begin{array}{lr} a,b = b,a & 若b>a& 初始化\\ r = a\; mod\; b & & 進入循環 \\ gcd(a,b) = gcb(b,r) &r \not= 0&判斷\\ gcd(a,b) = b &r = 0& 結束 \end{array} \right.$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​a,b=b,ar=amodbgcd(a,b)=gcb(b,r)gcd(a,b)=b​若b>ar​=0r=0​初始化進入循環判斷結束​
2. 令 $q = gcb(a,b)$q=gcb(a,b) [上一步所求出來的], 移動次數： $i = n/q$i=n/q
3. 計算元素移動位置： $x_i = (x_m + i\times k)\; mod\; n\quad 0\leq i<n/q \quad 0 \leq x_m < q$xi​=(xm​+i×k)modn0≤i<n/q0≤xm​<q
   說明：初始元素爲 $x_m$xm​，第 $i$i次移動實現 $a[x_{i-1}]\to a[x_i]$a[xi−1​]→a[xi​] ,共移動 $q$q輪

算法設計與描述

算法分析

注：可以進行改進，減少內層循環次數。

【例題3】求n!(n<=100)
問題分析
int整數表示的範圍爲：-2147483648 —— -2147483647，顯然不能直接處理規模爲100的階乘計算。所以需要藉助一個int型數組a，設定每個元素存儲6位整數，由式子 $log(n!) = \Theta(n\log n)$log(n!)=Θ(nlogn)可得數組中約需要34個元素。
計算方法：模擬豎式乘法
計算模型
設存儲大數結果的數組爲 $a[m]$a[m]， $m = n (\log n)/6$m=n(logn)/6
初始化 $a[0] =1，a[i] = 0 (i\not=0)$a[0]=1，a[i]= $a[x_{i-1}]\to a[x_i]$a[xi−1​]→a[xi​] ,共移動 $q$q輪

算法設計與描述

算法分析

注：可以進行改進，減少內層循環次數。

【例題3】求n!(n<=100)
問題分析
int整數表示的範圍爲：-2147483648 —— -2147483647，顯然不能直接處理規模爲100的階乘計算。所以需要藉助一個int型數組a，設定每個元素存儲6位整數，由式子 $log(n!) = \Theta(n\log n)$log(n!)=Θ(nlogn)可得數組中約需要34個元素。
計算方法：模擬豎式乘法
計算模型
設存儲大數結果的數組爲 $a[m]$a[m]， $m = n (\log n)/6$m=n(logn)/6
初始化 $a[0] =1，a[i] = 0 (i\not=0)$a[0]=1，a[i]=0(i​=0)
i ​] ,共移動 $q$q輪

算法設計與描述

算法分析

注：可以進行改進，減少內層循環次數。

【例題3】求n!(n<=100)
問題分析
int整數表示的範圍爲：-2147483648 —— -2147483647，顯然不能直接處理規模爲100的階乘計算。所以需要藉助一個int型數組a，設定每個元素存儲6位整數，由式子 $log(n!) = \Theta(n\log n)$log(n!)=Θ(nlogn)可得數組中約需要34個元素。
計算方法：模擬豎式乘法
計算模型
設存儲大數結果的數組爲 $a[m]$a[m]， $m = n (\log n)/6$m=n(logn)/6
初始化 $a[0] =1，a[i] = 0 (i\not=0)$a[0]=1，a[i]=0(i​=0)
$a[m]$a[m]， $m = n (\log n)/6$m