平衡二叉樹的判斷

平衡二叉樹的判斷

如何判斷是否爲平衡二叉樹？

答：每一個節點的左右子樹高度差的絕對值小於等於1，咱們認爲該二叉樹平衡；

​ 只要有一個節點的左右子樹高度差絕對值大於1，咱們認爲這顆二叉樹不平衡。

所以，判斷一棵樹是否平衡，須要計算樹的高度以及判斷高度差。

下面介紹兩種判斷平衡二叉樹的方式：自頂向下，自底向上。

樹節點的定義

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */

自頂向下

僞碼描述

int getHeight(TreeNode* root){
    if(root爲空節點) return 0;
    return 左子樹與右子樹的最大高度+1;
}
bool isBalanced(TreeNode* root){
    if(root爲空節點) return ture;
    if(左子樹爲平衡樹且右子樹爲平衡樹)
        if(左子樹與右子樹的高度差小於2)
            return true;
    return false;
}

Talk is cheap . Show me the code

int getHeight(TreeNode* root){
    if(root==NULL) return 0;
    return max(getHeight(root->right),getHeight(root->left))+1;
}

bool isBalanced(TreeNode* root) {
    if(root==NULL) return true;
    if(isBalanced(root->left)&&isBalanced(root->right))
        if(abs(getHeight(root->left)-getHeight(root->right))<2)
            return true;
    return false;
}

算法分析：

時間複雜度：

\[ O(n\log n) \]

空間複雜度：

\[ O(n) \]

這不是最優算法，出現了不少冗餘計算，getHeight函數顯然要被重複調用不少次。計算每個節點的時候，都重複計算了子節點的高度，浪費計算機算力，重複計算已經計算過的結果顯然是不合適的。

解決的辦法也呼之欲出，將每次計算出的高度傳出來保存不就行了？

因而有了下面自底向上的方法。這樣能夠充分利用每次計算的高度的結果，下降計算量。

自底向上

僞碼描述

int isBalancedHelper(TreeNode* root,int& height){
    if(root爲空節點){
        height=0;
        return true;
    }
    int left,right;
    if(判斷右子樹是不是平衡數並把高度賦給right&&判斷左子樹是不是平衡數並把高度賦給left)
        if(left與right的差的絕對值小於2){
            height=left與right的最大值+1;
            return true;
        }
    return false;
}
bool isBalanced(TreeNode* root) {
    int height=0;
    return isBalancedHelper(root,height);
}

Talk is cheap . Show me the code

int isBalancedHelper(TreeNode* root,int& height){
    if(root==NULL){
        height=0;
        return true;
    }
    int left,right;
    if(isBalancedHelper(root->right,right)&&isBalancedHelper(root->left,left){
        if(abs(left-right)<2)){
            height=max(left,right)+1;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
bool isBalanced(TreeNode* root) {
    int height=0;
    return isBalancedHelper(root,height);
}

算法分析：

時間複雜度：

\[ O(n) \]

空間複雜度：

\[ O(n) \]

自底向上每次判斷都把高度傳了出去，而且每一次計算都充分利用子節點的高度數據，沒有進行重複計算，在不提高空間複雜度的狀況下，下降了整個算法的時間複雜度。