[BZOJ 4671]異或圖

Description

題庫連接

給定 \(s\) 個結點數相同且爲 \(n\) 的圖 \(G_1\sim G_s\) ，設 \(S = \{G_1, G_2,\cdots , G_s\}\) ，問 \(S\) 有多少個子集的異或爲一個連通圖。

\(1\leq n\leq 10,1\leq s\leq 60\)

Solution

不妨記 \(f_x\) 爲連通塊個數至少爲 \(x\) 的方案數， \(g_x\) 爲連通塊剛好爲 \(x\) 的方案數。

容易獲得：

\[f_x=\sum_{i=x}^n\begin{Bmatrix}i\\x\end{Bmatrix}g_i\]

其中第二類斯特林數的含義是將 \(i\) 個連通塊塞成 \(x\) 個的方案數。至於爲何要塞成 \(x\) 個，這和 \(f\) 的計算方式有關，以後會提到。

那麼由斯特林反演

\[g_x=\sum_{i=x}^n(-1)^{i-x}\begin{bmatrix}i\\x\end{bmatrix}f_i\]

那麼

\[\begin{aligned}g_1&=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}f_i\\&=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}(i-1)!f_i\end{aligned}\]

考慮如何求 \(f\) ，咱們能夠去枚舉子集劃分，對於橫跨兩個集合的邊，咱們必須讓他們異或爲 \(0\) ，集合內的邊能夠隨意連，咱們不用管（這樣可能會致使集合內不連通，這就是上面第二類斯特林數的含義）。

這樣咱們能夠用 \(O(bell(n))\) 的時間枚舉子集劃分。而後對於每個劃分，用線性基找出邊集的極大線性無關組個數，記爲 \(tot\) ，那麼在當前集合劃分下方案爲 \(2^{s-tot}\) 。

總複雜度 \(O(bell(n)s\frac{n(n-1)}{2})\) 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

char ch[120];
ll t, x, bin[64], fac[64], ans, base[64], mp[64];
int s, n, belong[64];

void cal(int sz) {
    t = 0; int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < 64; i++) base[i] = 0;
    for (int i = 1, l = -1; i <= n; i++)
        for (int j = i+1; j <= n; j++)
            t |= bin[++l]*(belong[i] != belong[j]);
    for (int j = 1; j <= s; j++) {
        x = t&mp[j];
        for (int i = 63; i >= 0; i--)
            if (x&bin[i]) {
                if (!base[i]) {base[i] = x; ++cnt; break; }
                else x ^= base[i];
            }
    }
    if (sz&1) ans += fac[sz-1]*bin[s-cnt];
    else ans -= fac[sz-1]*bin[s-cnt];
}
void dfs(int x, int sz) {
    if (x > n) {cal(sz); return; }
    for (int i = 1; i <= sz+1; i++)
        belong[x] = i, dfs(x+1, sz+(i == sz+1));
}
void work() {
    scanf("%d", &s); bin[0] = fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 10; i++) fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i;
    for (int i = 1; i < 64; i++) bin[i] = bin[i-1]<<1;
    scanf("%s", ch+1);
    for (int len = strlen(ch+1); n*(n-1)/2 < len; ++n);
    for (int i = 1, t = 0; i <= n; i++)
        for (int j = i+1; j <= n; j++)
            if (ch[++t] == '1') mp[1] |= bin[t-1];
    for (int T = 2; T <= s; T++) {
        scanf("%s", ch+1);
        for (int i = 1, t = 0; i <= n; i++)
            for (int j = i+1; j <= n; j++)
                if (ch[++t] == '1') mp[T] |= bin[t-1];
    }
    dfs(1, 0); printf("%lld\n", ans);
}
int main() {work(); return 0; }