一篇不大正經的有關素數的小結

時間 2019-11-11

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原文原文鏈接

素數：

也稱質數、不可約數，不存在非平凡因子。ios

平凡因子：

即對於任意數\(n\)都至少存在兩個因子，一個是\(1\)，另外一個是\(n\)自己，咱們就叫它倆爲\(n\)的平凡因子，其餘的，都爲n的不平凡因子。c++

性質：

設\(\pi (n)\)爲不超過\(n\)的質數個數
那麼，\(\pi (n) \backsim \frac {n}{\ln n}\)（\(n\)越大，估計的越準確）算法

質因數分解：

Code：數組

inline int factorize(int x,int p[]) {
    int cnt=0;
    for(int i=2; i*i<=x; ++i) {
        if(x%i==0) {
            p[cnt++]=i;
            x/=i;
        }
    }
    if(x>1) p[cnt++]=x;
    return cnt;
}

例題：

質數有無限個，如何證實？網絡

反證法：假設質數是有限的
\(\because假設爲p_1,p_2,\cdots p_n\)
\(\therefore M=p_1*p_2*\cdots p_n+1\)
\(又\therefore M \bmod p_1=1\)
\(M \bmod p_2=1\)
\(\cdots\)
\(M \bmod p_n=1\)
\(\therefore M \bmod 任何質數都是1，M不是任何質數的倍數，M是質數，與假設衝突，因此質數有無限個\)dom

這樣一想，求它是否是就有不少種方法啦~（\(Emma,19260817\)是個質數）
1.一個毒瘤的判斷素數法子（跑的賊快的那種,時間複雜度 \(O(\sqrt{n}/3)\)）:優化

首先看一個關於質數分佈的規律：
\(\geq5\)的質數必定和\(6\)的倍數相鄰。
\(證實：令x\geq 1，將\geq 5的天然數表示以下：\)
\(\cdots 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1 \cdots\)
\(能夠看到,不和6的倍數相鄰的數爲6x+2,6x+3,6x+4,因爲2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),因此它們必定不是素數,再除去6x自己,顯然,素數要出現只可能出如今6x的相鄰兩側。\)
這種方法裁剪了不和\(6\)的倍數相鄰的數，雖然都沒有下降時間複雜度的階數，但都必定程度上加快了判斷的速度。spa

inline int prime(int n) {
    if(n==1) return false;
    if(n==2 || n==3) return true;
    if(n%6!=1 && n%6!=5) return false;
    for(register int i=5; i<=sqrt(n); i+=6)
        if(n%i==0 || n%(i+2)==0) return false;
    return true;
}

2.很是樸素的一種算法(判斷有沒有能整除的數)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(n%i==0) {
            cout<<"flase";
            return 0;
        } else {
            cout<<"true";
            return 0;
        }
    }
}

3.網絡上流傳的素數打表：

/*
遇到素數須要打表時，先估算素數的個數：
num = n / lnx;
num爲大概數字，越大偏差越小（只是估計，用於估算素數表數組大小）
這個打表法效率貌似很高，網上說幾乎達到了線性時間（不知道是真是假=。=）
*/
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define maxn 10000000
using namespace std;
bool visit[maxn+1000000];
int prime[maxn],n; ///prime的大小大概估計一下再開數組。大概是（x/lnx）
void getprime() {
    memset(visit, false, sizeof(visit));
    int num = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if ( !visit[i] )  prime[++num] = i;
        for (int j = 1; j <= num && i * prime[j] <= n ;  j++) {
            visit[ i  *  prime[j] ]  =  true; 
            if (i % prime[j] == 0) break; 
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(visit[i]==false)
        cout<<i<<' ';
    }
}
int main() {
    freopen("素數打表.txt","w",stdout); 
    scanf("%d",&n);
    getprime();
    return 0;
}

4.弟弟通常的樸素打表：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int g_g(int x) {
    int flag=1;
    for(int i=2; i<=sqrt(x); ++i) {
        if(x%i==0)
            flag=0;
    }
    if(flag==1)
        return 1;
    else
        return 0;
}
int main() {
    freopen("sushu.out","w",stdout);
    for(int i=9784010; i<=100000000; ++i) {
        if(g_g(i)) {
            cout<<i<<",";
        }
    }
    return 0;
}

5.有點小優化的樸素判斷：

bool isprime(int n) {
    if(n<2)return false;
    if(n==2) return true;
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)
        if(n%i==0)
            return false;
    return true;
}

6.埃氏篩總得聽過吧（stm找的一個代碼得明白）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int fw;
int kk;
bool a[100000000];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(a,0,sizeof(a));
    fw=sqrt(n+0.5);//防止四捨五入
    a[1]=1;//不判斷一，直接賦值
    for(int i=2;i<=fw;i++)//從二的倍數開始找
    {
        if(a[i]==0)//優化一，只有在a[i]不是合數下判斷。
        {
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i)//j=i*i,是重點，應爲2*i等已經被判斷過了
                a[j]=1;    
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>kk;
        if(a[kk]==0)
            cout<<"Yes"<<endl;
        else
            cout<<"No"<<endl;
    }
    return 0;
}

7.miller rabin 算法（很**，反正我不會）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
#define ll long long
using namespace std;
const int times = 20;
int number = 0;
map<ll, int>m;
ll Random(ll n) { //生成[ 0 , n ]的隨機數
    return ((double)rand()/RAND_MAX*n+0.5);
}
ll q_mul(ll a, ll b, ll mod) { //快速計算 (a*b) % mod
    ll ans=0;
    while(b) {
        if(b&1) {
            b--;
            ans=(ans+a)%mod;
        }
        b/=2;
        a=(a+a)%mod;
    }
    return ans;
}
ll q_pow(ll a,ll b,ll mod) { //快速計算 (a^b) % mod
    ll ans=1;
    while(b) {
        if(b&1) {
            ans=q_mul(ans,a,mod );
        }
        b/=2;
        a=q_mul(a,a,mod);
    }
    return ans;
}
bool witness(ll a,ll n) { //miller_rabin算法的精華
    //用檢驗算子a來檢驗n是否是素數
    ll tem=n-1;
    int j=0;
    while(tem%2==0) {
        tem/=2;
        j++;
    }
    //將n-1拆分爲a^r * s
    ll x=q_pow(a,tem,n); //獲得a^r mod n
    if(x==1||x==n-1) return true;//餘數爲1則爲素數
    while(j--) { //不然試驗條件2看是否有知足的 j
        x=q_mul(x,x,n);
        if(x==n-1)return true;
    }
    return false;
}
bool miller_rabin(ll n) { //檢驗n是不是素數

    if(n==2)return true;
    if(n<2||n%2==0)return false;//若是是2則是素數，若是<2或者是>2的偶[]數則不是素數
    for(register int i=1; i<=times; i++) { //作times次隨機檢驗
        ll a=Random(n-2)+1;//獲得隨機檢驗算子 a
        if(!witness(a,n))return false;//用a檢驗n是不是素數
    }
    return true;
}
int main() {
    ll x;
    while(cin>>x) {
        if(miller_rabin(x))
            cout<<"Yes"<<endl;
        else
            cout <<"No"<<endl;
    }
    return 0;
}