樹 - （二叉查找樹，紅黑樹，B樹）- B樹

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如下是算法導論第十八章的學習筆記

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一個問題

若是紅黑樹中的每一個黑結點吸取它的紅子女，並把它們的子女併入自身，描述這個結果的數據結構。
(2-3-4樹)
or
假設將一棵紅黑樹的每個紅結點 「吸取」 到它的黑色父結點中，來讓紅結點的子女變成黑色父結點的子女（忽略關鍵字的變化）。當一個黑結點的全部紅色子女都被吸取後，其可能的度是多少？此結果樹的葉子深度怎樣

B樹 - 平衡多路查找樹

這段整理自July's blog 和 本身的理解
磁盤讀取數據（把數據從外存調入內存）是以盤塊(block)爲基本單位的。位於同一盤塊中的全部數據都能被一次性所有讀取出來。而磁盤IO代價主要花費在查找時間上。所以咱們應該儘可能將相關信息存放在同一盤塊，同一磁道中，這樣一次IO時間就能夠。或者至少放在同一柱面或相鄰柱面上，以求在讀/寫信息時儘可能減小磁頭來回移動的次數，避免過多的查找時間。

因此，在大規模數據存儲方面，大量數據存儲在外存磁盤中，而在外存磁盤中讀取/寫入塊(block)中某數據時，首先須要定位到磁盤中的某塊，如何有效地查找磁盤中的數據，須要一種合理高效的外存數據結構，B 樹是爲了磁盤或其它存儲設備而設計的一種多叉平衡查找樹。

與紅黑樹不一樣之處在於，B樹的節點能夠有許多個，從幾個到幾千個。不過 B 樹與紅黑樹同樣，一棵含 n 個結點的 B 樹的高度也爲 O(logn) ，但可能比一棵紅黑樹的高度小許多，由於對數的底由紅黑樹的2變爲t（t爲最小度數）. 由於它的分支因子比較大。因此，B 樹能夠在 O(logn)時間內，實現各類如插入（insert），刪除（delete）等動態集合操做。

B樹的每一個節點根據實際狀況能夠包括大量信息和子女（固然是不能超過磁盤塊的大小，由於咱們從磁盤上讀取信息的時候通常都是按照磁盤塊進行的，一個磁盤快對應一個節點，每次檢索B樹的時候遇到一個節點，也就對應一次磁盤的訪問操做，若是一個節點大於了一個磁盤塊，那麼訪問一個節點須要兩次磁盤訪問，效率就不行了，通常塊的大小在 1k~4k 左右 ）

如圖 17是磁盤文件名；小紅方塊表示這個 17 文件內容在硬盤中的存儲位置；p1 表示指向 17 左子樹的指針

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B樹性質

若是是一棵 m 階的 B 樹，那麼有：

• m階樹的孩子數
  $$ ceil( \frac{m}{2} ) \leq 孩子數 \leq m $$
• 除根結點和葉子結點外，其它每一個結點至少有 ceil(m / 2) 個孩子（其中 ceil(x) 是一個取上限的函數）；
• 除根結點以外的結點的關鍵字的個數 n 必須知足：
  $$ ceil(\frac{m}{2})-1 \leq n \leq m-1 $$（葉子結點也必須知足此條關於關鍵字數的性質）
• 樹的高度
  $$ h = \log_{t}{(\frac{n+1}{2} + 1)} $$
  $$ t = ceil( \frac{m}{2} )$$

節點

B 樹的類型和節點定義以下圖所示：

查找操做

假如每一個盤塊能夠正好存放一個 B 樹的結點（正好存放 2 個文件名）。那麼一個 BTNODE 結點就表明一個盤塊，而子樹指針就是存放另一個盤塊的地址。

下面，我們來模擬下查找文件 29 的過程：(詳細見July博客)

• 根據根結點指針找到文件目錄的根磁盤塊 1，將其中的信息導入內存。【磁盤 IO 操做 1 次】
• 此時內存中有兩個文件名 1七、35 和三個存儲其餘磁盤頁面地址的數據。根據算法咱們發現：17<29<35，所以咱們找到指針 p2。
• 根據 p2 指針，咱們定位到磁盤塊 3，並將其中的信息導入內存。【磁盤 IO 操做 2 次】
• 此時內存中有兩個文件名 26，30 和三個存儲其餘磁盤頁面地址的數據。根據算法咱們發現：26<29<30，所以咱們找到指針 p2。
• 根據 p2 指針，咱們定位到磁盤塊 8，並將其中的信息導入內存。【磁盤 IO 操做 3 次】
• 此時內存中有兩個文件名 28，29。根據算法咱們查找到文件名 29，並定位了該文件內存的磁盤地址。

分析上面的過程，發現須要 3 次磁盤 IO 操做和 3 次內存查找 操做。關於內存中的文件名查找，因爲是一個有序表結構，能夠利用折半查找提升效率。至於 IO 操做是影響整個 B 樹查找效率的決定因素。

查詢須要O(h)存取的磁盤頁面數

插入操做

插入元素 - 檢查是否存在
- 存在，不插入
- 不存在，在葉子節點插入新的元素

• 葉子節點空間足夠（#<m-1）,插入

• 葉子節點空間不夠（#=m-1），插入進去，而後分裂，中間節點上移

• 若是致使父節點滿了，父節點再分裂；若致使根節點滿了。這樣致使樹的高度+1

刪除操做

高度爲h的樹，只須要O(h)次磁盤存取操做。

刪除元素 - 檢查BTree是否存在該節點
- 不存在，不刪除
- 存在，刪除之，而後判斷：該元素是否有左右孩子

• 如有，則上移``孩子中相近元素 (「左孩子最右邊的節點」 或 「右孩子最左邊的節點」) 到該節點 - to step *

• 若無，直接刪除 , - to step *

• step *: 若是刪除以後或者移動以後，致使某節點的元素數目小於 ceil(m/2)-1；則須要查看某相鄰的兄弟節點是否豐滿 (大於 ceil(m/2)-1)

  step *1. 父節點降低一個關鍵字到該節點；降低
  --判斷兄弟 --
  step *2.1 若是其某個相鄰兄弟結點中比較豐滿（元素個數大於 ceil(m/2)-1），則能夠借給父結點一個元素，即將最豐滿的相鄰兄弟結點中上移到父節點中 上調
  step *2.2 若是其相鄰兄弟都剛脫貧，即借了以後其結點數目小於 ceil(m/2)-1，則該結點與其相鄰的某一兄弟結點進行 合併 成一個結點，以此來知足條件 合併