2019CSP day1t1 格雷碼

題目描述

一般，人們習慣將全部 \(n\) 位二進制串按照字典序排列，例如全部 \(2\) 位二進制串按字典序從小到大排列爲：\(00,01,11,10\)。

格雷碼（\(Gray Code\)）是一種特殊的 \(n\) 位二進制串排列法，它要求相鄰的兩個二進制串間剛好有一位不一樣，特別地，第一個串與最後一個串也算做相鄰。

全部 \(2\) 位二進制串按格雷碼排列的一個例子爲：\(00\)，\(01\)，\(11\)，\(10\)。

\(n\) 位格雷碼不止一種，下面給出其中一種格雷碼的生成算法：

1. \(1\) 位格雷碼由兩個 \(1\) 位二進制串組成，順序爲：\(0\)，\(1\)。
2. \(n + 1\) 位格雷碼的前 \(2^n\) 個二進制串，能夠由依此算法生成的 \(n\) 位格雷碼（總共 \(2^n\) 個 \(n\) 位二進制串）按順序排列，再在每一個串前加一個前綴 \(0\) 構成。
3. \(n + 1\) 位格雷碼的後 \(2^n\) 個二進制串，能夠由依此算法生成的 \(n\) 位格雷碼（總共 \(2^n\) 個 \(n\) 位二進制串）按逆序排列，再在每一個串前加一個前綴 \(1\) 構成。

綜上，\(n + 1\) 位格雷碼，由 \(n\) 位格雷碼的 \(2^n\)個二進制串按順序排列再加前綴 \(0\)，和按逆序排列再加前綴 \(1\) 構成，共 \(2^{n+1}\) 個二進制串。另外，對於 \(n\) 位格雷碼中的 \(2^n\)個 二進制串，咱們按上述算法獲得的排列順序將它們從 \(0 \sim 2^n - 1\) 編號。

按該算法，\(2\)位格雷碼能夠這樣推出：

1. 已知 \(1\) 位格雷碼爲 \(0\)，\(1\)。
2. 前兩個格雷碼爲$ 00$，\(01\)。後兩個格雷碼爲 \(11\)，\(10\)。合併獲得 \(00\)，\(01\)，\(11\)，\(10\)，編號依次爲 \(0\sim 3\)。

同理，\(3\) 位格雷碼能夠這樣推出：

1. 已知 \(2\) 位格雷碼爲：\(00\)，\(01\)，\(11\)，\(10\)。
2. 前四個格雷碼爲：\(000\)，\(001\)，\(011\)，\(010\)。後四個格雷碼爲：\(110\)，\(111\)，\(101\)，\(100\)。合併獲得：\(000\)，\(001\)，\(011\)，\(010\)，\(110\)，\(111\)，\(101\)，\(100\)，編號依次爲 \(0\sim7\)。

如今給出 \(n\)，\(k\)，請你求出按上述算法生成的 \(n\) 位格雷碼中的 \(k\) 號二進制串。

輸入格式

僅一行兩個整數 \(n\)，\(k\)，意義見題目描述。

輸出格式

僅一行一個 \(n\) 位二進制串表示答案。

輸入輸出樣例

輸入 #1

2 3

輸出 #1

10

輸入 #2

3 5

輸出 #2

111

輸入 #3

44 1145141919810

輸出 #3

00011000111111010000001001001000000001100011

說明/提示

【樣例 \(1\) 解釋】

\(2\) 位格雷碼爲：\(00\)，\(01\)，\(11\)，\(10\)，編號從 \(0\sim3\)，所以 \(3\) 號串是 \(10\)。

【樣例 \(2\) 解釋】

\(3\) 位格雷碼爲：\(000\)，\(001\)，\(011\)，\(010\)，\(110\)，\(111\)，\(101\)，\(100\)，編號從 \(0\sim7\)，所以 \(5\) 號串是 \(111\)。

【數據範圍】

對於 \(50\%\) 的數據：\(n \leq 10\)

對於 \(80\%\) 的數據：\(k \leq 5 \times 10^6\)

對於 \(95\%\) 的數據：\(k \leq 2^{63} - 1\)

對於 \(100\%\) 的數據：\(1 \leq n \leq 64\), \(0 \leq k \lt 2^n\)

這個題正解聽說是位運算，可是彷佛也不用這麼麻煩。然而我考場上並無開\(unsigned\) \(long\) \(long\)因此我就沒了。

考慮按照題意模擬。按照題意，一個\(n\)位的格雷碼是由一個前綴\(0\)或\(1\)加上一個長度爲\(n-1\)爲的格雷碼構成的，因此咱們能夠考慮相似康託展開的方法。

咱們不妨先處理出全部\(2\)的冪。對於咱們知道這個長度爲\(n\)的格雷碼在當前全部長度爲\(n\)的格雷碼中應該正序排第\(k\)位，則若是\(n\lt 2^{n-1}\)（只有小因而由於編號是從\(0\)開始存的）則當前這一位還放\(0\)，轉移到\(dfs(n-1,k)\)；反之放下一個\(1\)，考慮怎麼處理逆序。

因爲咱們已經放下了一個\(1\)，因此咱們已經整個過濾掉了\(2^{n-1}\)個比它排名靠前的格雷碼（由於這些格雷碼第一位應該是\(0\)），因此咱們最後處理編號的範圍是\(2^{n-1}\)，因此咱們首先要把\(k\)減掉\(2^{n-1}\)。手玩一下能夠知道，編號從\(0\)開始存這個事情很是麻煩，因此咱們須要把這個數整個向右面移一位，也就是加上\(1\)。

再考慮要求倒序排列。這個很簡單，由於這\(2^{n-1}\)個格雷碼的編號是\(0\sim2^{n-1}-1\)，因此容易知道咱們只須要用\(2^{n-1}-(k-2^{n-1}+1)\)便可。（其實手玩一下或者打表找規律也行。）

上代碼。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define int long long
#define rep(i,a,n) for(register int i=a;i<=n;++i)
#define dep(i,n,a) for(register int i=n;i>=a;--i)
using namespace std;
int n;
unsigned long long k;
unsigned long long num[64];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*f;
}
void write(int x)
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x==0)return;
    write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void dfs(int step,int k)
{
    if(step==0)return;
    if(k<num[step-1])
    {
        putchar('0');
        dfs(step-1,k);
    }
    else
    {
        putchar('1');
        dfs(step-1,num[step-1]-(k-num[step-1]+1));
    }
}
signed main()
{
    n=read(),k=read();
    num[0]=1;
    rep(i,1,n-1)num[i]=num[i-1]*2;
    dfs(n,k);
    return 0;
}

必定注意編號必須從\(0\)存，不然\(unsigned\) \(long\) \(long\)存不下。