[WC 2018]州區劃分

Description

題庫連接

小 \(S\) 如今擁有 \(n\) 座城市，第 \(i\) 座城市的人口爲 \(w_i\) ，城市與城市之間可能有雙向道路相連。

如今小 \(S\) 要將這 \(n\) 座城市劃分紅若干個州，每一個州由至少一個城市組成，每一個城市在剛好一個州內。

假設小 \(S\) 將這些城市劃分紅了 \(k\) 個州，設 \(V_i\) 是第 \(i\) 個州包含的全部城市組成的集合。 定義一條道路是一個州的內部道路，當且僅當這條道路的兩個端點城市都在這個州內。 若是一個州內部存在一條起點終點相同，不通過任何不屬於這個州的城市，且通過這個州的每一個城市至少一次、全部內部道路都剛好一次的路徑（路徑長度能夠爲 \(0\) ），則稱這個州是不合法的。

定義第 \(i\) 個州的滿意度爲：第 \(i\) 個州的人口在前 \(i\) 個州的人口中所佔比例的 \(p\) 次冪，即：

\[\left (\frac{\sum_{x \in V_i}{w_x}}{\sum_{j=1}^{i}\sum_{x \in V_j}{w_x}}\right )^p\]

定義一個劃分的滿意度爲全部州的滿意度的乘積，求全部合法的劃分方案的滿意度之和，答案對 \(998244353\) 取模。

兩個劃分 \(\{V_1\cdots V_k\}\) 和 \(\{C_1\cdots C_s\}\) 是不一樣的，當且僅當 \(k\neq s\) ，或存在某個 \(1\leq i\leq k\) ，使得 \(Vi\neq Ci\) 。

\(0\leq n\leq 21,0\leq m\leq \frac{n\times (n-1)}{2},0\leq p\leq 2,1\leq w_i\leq 100\)

Solution

咱們記 \(f_S\) 爲選點狀況爲 \(S\) 時，劃分紅若干非空集合所獲得的全部貢獻。

容易獲得轉移方程：

\[f_S=\frac{1}{sum_S^p}\sum_{X\subset S} f(X)sum_{S-X}^P\]

其中 \(sum_S\) 表示點集 \(S\) 中全部點的權值和。

那麼套路地用子集卷積搞一下就行了。注意要預處理出知足條件的集合。

安利我博客：子集卷積

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 21+5, SIZE = (1<<21)+5, yzh = 998244353;

int n, m, p, u, v, w[N], mp[N][N], bin[N];
int f[N][SIZE], g[N][SIZE], ok[SIZE], sum[SIZE], inv[SIZE], cnt[SIZE];
int fa[N], deg[N];
int find(int o) {return fa[o] ? fa[o] = find(fa[o]) : o; }

int quick_pow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b&1) ans = 1ll*ans*a%yzh;
        b >>= 1, a = 1ll*a*a%yzh;
    }
    return ans;
}
void FMT(int *A, int o) {
    for (int i = 1; i < bin[n]; i <<= 1)
        for (int j = 0; j < bin[n]; j++)
            if (i&j) (A[j] += A[i^j]*o) %= yzh;
}
bool judge(int S) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (bin[i-1]&S) sum[S] += w[i], ++cnt[S], fa[i] = deg[i] = 0;
    int b = cnt[S];
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (S&bin[i-1])
        for (int j = i+1; j <= n; j++) if ((S&bin[j-1]) && mp[i][j]) {
            ++deg[i], ++deg[j];
            if (find(i)^find(j)) fa[find(i)] = find(j), --b;
        }
    if (b > 1) return true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) if ((S&bin[i-1]) && (deg[i]&1)) return true;
    return false;
}
void work() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &p); bin[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 25; i++) bin[i] = bin[i-1]<<1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v); mp[u][v] = mp[v][u] = 1;     
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
    for (int i = 0; i < bin[n]; i++) ok[i] = judge(i);
    for (int i = 0; i < bin[n]; i++) {
        sum[i] = quick_pow(sum[i], p);
        inv[i] = quick_pow(sum[i], yzh-2);
        if (ok[i]) g[cnt[i]][i] = sum[i];
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++) FMT(g[i], 1);
    f[0][0] = 1; FMT(f[0], 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++)
            for (int k = 0; k < bin[n]; k++)
                (f[i][k] += 1ll*f[j][k]*g[i-j][k]%yzh) %= yzh;
        FMT(f[i], -1);
        for (int k = 0; k < bin[n]; k++) f[i][k] = 1ll*f[i][k]*inv[k]%yzh;
        for (int k = 0; k < bin[n]; k++) if (cnt[k] != i) f[i][k] = 0;
        if (i != n) FMT(f[i], 1);
    }
    printf("%d\n", (f[n][bin[n]-1]+yzh)%yzh);
}
int main() {work(); return 0; }