基礎算法——二分（原理細節與習題概括整理）

目錄：

• 整數二分
• 實數二分
• 相關習題

核心思想：

　　一、肯定一個區間，使目標值必定在區間內

　　二、找到一個性質知足：

　　　　（1）具備二段性（便可分紅連續的，性質不一樣的兩段，同一段內性質相同）；

　　　　（2）答案是二段性的分界點；

1、整數二分：

　　　簡介：

整數二分由於數在數軸上是離散分佈（即不是連續的），且int型變量默認向下取整，因此實現的時候很容易出現死循環的狀況。這裏給出兩類整數二分的實現方法及其相關原理，能夠有效避免死循環的狀況； 

　　    第一類：

　　　　　　　　

　　　　　　ans（答案）是紅色區間的右端點。將【L,R】分紅【L,M-1】、【M,R】兩個區間。

　　　　　　if M在紅色區間內，說明ans必然在【M,R】區間；

　　　　　　else ans必然在【L,M-1】區間；

　　　　　　僞碼如圖：

　　　　　　　　

PS：如上圖證實：求M時若不「+1」，當L=R-1且第一個條件知足時，L永遠不變，循環沒法退出。

　　　　第二類：

　　　　　　　　

　　　　　　　ans是綠色區間的左端點。將【L,R】分紅【L,M】、【M+1,R】兩個區間。

　　　　　　　if M在綠色區間內，說明ans必然在【L,M】中；

　　　　　　　else ans必然在【M+1,R】中；

　　　　　　僞碼如圖：

　　　　　　  

　　　　　　　　PS：這裏求M時無需「+1」，如圖證實可知若「+1」當條件一成立時，程序會陷入死循環。

　　　　小結：

　　　　　　整數二分步驟：

1. 1. 1. 找一個區間【L,R】，使得answer必定在該區間內
      2. 找一個判斷條件，使得該條件具備二段性，而且答案必定是該二段性的分界點
      3. 分析中點M在該條件下是否成立，
         　若是成立，考慮答案在哪一個區間;
         　若是不成立，考慮答案在哪一個區間；
      4. if更新方式寫的是：
         　R=Mid; 不用任何處理
         　L=Mid; 計算Mid時"+1"

2、實數二分：

　　因爲實數在數軸上連續、稠密分佈，二分時必然能夠求到一個精確的M，不存在整數二分的邊界問題。
　　因此實數二分相對比較簡單，只要r-l小於一個足夠小的數前，不斷二分循環畢竟答案便可。惟一須要注意的地方就是通常爲了精確度考慮，二分邊界條件精度到問題所求後兩位。（如：問題要求保留小數點後6位，設置條件時r-l則大於小數點後8位）

3、相關習題：

　　（前爲本人題解連接，後位原題連接）

　　AcWing790. 數的三次方根　　原題連接　　（實數二分模板題） 

　　AcWing 789. 數的範圍   　　   原題連接　　（整數二分模板題、兩類寫法均用到）