UOJ.311.[UNR#2]積勞成疾(DP)

UOJ

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序列中的每一個位置是等價的。直接令\(f[i][j]\)表示，\(i\)個數的序列，最大值不超過\(j\)的全部序列每一個長爲\(k\)的子區間最大值的乘積的和。
由\(j-1\)轉移到\(j\)時，考慮枚舉第一個\(j\)出如今哪裏。設最左邊的\(j\)在\(p\)位置，那麼會對左端點在\([\max(1,p-k+1),\ \min(p,i-k+1)]\)的每一個\(k\)區間形成\(w[j]\)的貢獻，也就是\(w[j]^{len}\)。\(p\)左邊沒出現過\(j\)，貢獻是\(f[p-1][j-1]\)；\(p\)右邊還可能出現\(j\)，貢獻是\(f[i-p][j]\)。
因此有\(f[i][j]=f[i][j-1]+\sum_{p=1}^{i}f[p-1][j-1]*w[j]^{len}*f[i-p][j]\)。

注意初始化的問題，\(f[i][j]\ (i<k)\)的初值是\(j^i\)，即序列個數。（這樣\(i\geq k\)的時候是會考慮序列全部構成的）

複雜度\(O(n^3)\)。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define mod 998244353
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=505;
const LL LIM=1ll<<61;

int pw[N][N],f[N][N];

inline int read()
{
    int now=0,f=1;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
    return now*f;
}
inline int FP(int x,int k)
{
    int t=1;
    for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod) k&1&&(t=1ll*x*t%mod);
    return t;
}

int main()
{
    const int n=read(),K=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        int w=read(); pw[i][0]=1;
        for(int j=1,wn=w; j<=n; ++j,w=1ll*w*wn%mod) pw[i][j]=w;
    }
    for(int i=0; i<=n; ++i) f[0][i]=1;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            if(i<K) f[i][j]=FP(j,i);
            else
            {
                LL tmp=f[i][j-1];
                for(int p=1; p<=i; ++p)
                    tmp+=1ll*f[p-1][j-1]*f[i-p][j]%mod*pw[j][std::min(p,i-K+1)-std::max(1,p-K+1)+1], tmp>=LIM&&(tmp%=mod);
                f[i][j]=tmp%mod;
            }
    printf("%d\n",f[n][n]);

    return 0;
}