吃貨如何理解01揹包問題

揹包問題

先從栗子出發，你是一個有理想的吃貨，你的肚子只能容納500g 的食物，爲了保證你獲得的價值（養分）最大化，有如下幾份食物能夠選擇

食物	質量/weight （100g）	價值/value（10g）
米飯	2	4
黃瓜	1	5
西紅柿	1	8
牛肉	3	10

動動吃貨的小腦筋，就知道，養分價值最大化的選擇是 牛肉+黃瓜+西紅柿 共 23（10g）養分！ 但是該怎麼使用程序計算出答案呢？

思路

肚子的資源有限，對每一種食物有兩種選擇：吃或者不吃。 判斷的依據有兩點：

（1）肚子可否裝得下食物？

（2）吃他的價值，是否比不吃他的價值大？大則吃下，不大則不吃。

假設d（i，w）表示肚子剩w（g）時，有 i 樣食物可供選擇，咱們能獲得的最大價值。i 表示第 i 樣食物。咱們須要求的是d（4，5）

根據上面的邏輯（1）

• 若是肚子裝不下，由於食物i沒裝進去，那麼d(i,w) = d(i-1,w)

• 肚子裝得下，那我須要判斷 [不放] d(i-1,w) 和 [放] d(i-1,w-w[i])+v[i] 誰大。

結合上面兩條規律，咱們獲得:

狀態轉移方程式

d(i, w)=max{ d(i-1, w), d(i-1,w-w[i]) + v[i] }

咱們給每樣食物加上序號

假如咱們考慮吃或不吃從下向上按照序號順序 4，3，2，1

d（4，5）表示只有牛肉、西紅柿、黃瓜、米飯能夠選擇時，能獲得的最大價值。若是我知道d（3，5）和d（3，2），我就能獲得d（4，5）

d(4 , 5)=max{ d(3,5) , d(3,5-3) }=max{ d(3,5) , d(3,2) + 10}

d（4，5）表示只有西紅柿、黃瓜、米飯能夠選擇時，能獲得的最大價值。若是我知道d（2，5）和d（2，4），我就能獲得d（3，5）

d(3 , 5)=max{d(2,5) , d(2,4)}

按照上面的往下分解,最終都會指向d(0,w)～邏輯以下圖：

d(0,w)表明選 0 件物品的放入揹包容量爲 w 的揹包的最大價值，因此爲 0。d(i,0)表明選 i 件物品放入揹包容量爲 0 的揹包的最大價值，也爲 0。

將樹圖的d值繼續整理獲得最優價值表

var value = [5, 8, 4, 10],
        size = [1, 1, 2, 3],
        d = [],
        n = 4,
        C = 5;
    //初始化數組
    for (var k = 0; k <= n; ++k) {
        d[k] = [];
    }
    for (var i = 0; i <= n; ++i) {
        for (var w = 0; w <= C; ++w) {
            d[i][w] = (i == 0) ? 0 : d[i - 1][w];
            if (i > 0 && w >= size[i - 1])
                d[i][w] = Math.max(d[i - 1][w], d[i - 1][w - size[i - 1]] + value[i - 1]);
        }
    }
    
     console.log(d[4][5])//23
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總結

01揹包問題的這種解法讓我感覺到了遞歸的強大，將大問題轉換成小問題，而後獲得小問題的答案向上求解！

2. 例題

連接：www.nowcoder.com/questionTer… 來源：牛客網 一種雙核CPU的兩個核可以同時的處理任務，如今有n個已知數據量的任務須要交給CPU處理，假設已知CPU的每一個核1秒能夠處理1kb，每一個核同時只能處理一項任務。n個任務能夠按照任意順序放入CPU進行處理，如今須要設計一個方案讓CPU處理完這批任務所需的時間最少，求這個最小的時間。

3. 資料

動態規劃之揹包問題（一）

動態規劃之01揹包問題--表格思路來源

經過金礦模型介紹動態規劃