出棧次序

題目： 

X星球特別講究秩序，全部道路都是單行線。
一個甲殼蟲車隊，共16輛車，按照編號前後發車，夾在其它車流中，緩緩前行。

路邊有個死衚衕，只能容一輛車經過，是臨時的檢查站，如圖所示。
X星球太死板，要求每輛路過的車必須進入檢查站，也可能不檢查就放行，也可能仔細檢查。
若是車輛進入檢查站和離開的次序能夠任意交錯。那麼，該車隊再次上路後，可能的次序有多少種？

爲了方便起見，假設檢查站可容納任意數量的汽車。
顯然，若是車隊只有1輛車，可能次序1種；2輛車可能次序2種；3輛車可能次序5種。

 

思路：這題說實話 ，惟一想到的是暴力，枚舉每一種可能的狀況，再判斷是否能夠行得通，可是很快就否決了，由於16個數的全排列根本數不清，16^16  太大了，而後沒什麼思路，看了

題解，是這麼說的，其實就是找規律，下面具體看一下怎麼作出來的：

咱們把n個元素的出棧個數的記爲f(n), 那麼對於1,2,3, 咱們很容易得出：

 

                                  f(1) = 1     //即 1

                                     f(2) = 2     //即 十二、21

                                     f(3) = 5     //即 12三、13二、21三、32一、231

 

而後咱們來考慮f(4), 咱們給4個元素編號爲a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出如今1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，好比abcd,元素a就在1號位置)。

分析：

 

1) 若是元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，立刻出棧，此時還剩元素b、c、d等待操做，就是子問題f(3)；

2) 若是元素a在2號位置，那麼必定有一個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)，     根據乘法原理，一共的順序個數爲f(1) * f(2)；

3) 若是元素a在3號位置，那麼必定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，

    根據乘法原理，一共的順序個數爲f(2) * f(1)；

4) 若是元素a在4號位置，那麼必定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序便是此小問題的解，即f(3)；

 

結合全部狀況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

爲了規整化，咱們定義f(0) = 1；因而f(4)能夠從新寫爲：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0) 

 

而後咱們推廣到n，推廣思路和n=4時徹底同樣，因而咱們能夠獲得：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

看代碼：

#include<iostream> #include<stack> #include<algorithm>
using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=100; ll a[maxn]; //f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)
void solve(int x) { ll sum=0; for(int i=0;i<x;i++) sum+=a[i]*a[x-1-i]; a[x]=sum; } int main() { a[0]=1; a[1]=1; a[2]=2; a[3]=5; for(int i=4;i<=16;i++) solve(i); cout<<a[16]<<endl; return 0; }