哥廷根學派200年興衰史

       自文藝復興後，若是問18世紀世界的科學中心在哪兒，無疑讓人聯想到法國！在這短短的100年曆史中（ 18 世紀中葉到 19 世紀的前 30 年），法國在數學、物理、化學與生命科學等方面取得了卓越成就，

達朗貝爾、拉格朗日、庫侖、拉瓦錫、拉馬克、蒙日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、居維葉、安培、泊松、柯西、拉梅、卡諾、伽羅瓦等羣星閃爍。

       隨後進入了19世紀，在接下來的100年時間裏，世界科學中心轉移到了德國，尤爲在數學領域，德國更是獨領風騷，其中又是以哥廷根學派聞名於世界。從高斯，到黎曼，再到希爾伯特，哥廷根學派成了

數學領域的加速器，極大促進了數學這門學科的繁榮與發展。再過幾百年或者幾千年乃至人類滅亡前，歷朝歷代的國王和領袖可能早已被後人遺忘，可是這些人物仍然會被耳提面命地被講述，他們的名字仍然

繼續頻繁地出如今各類教材中，指引着後入前行。

       哥廷根數學學派曾經是衆神通常存在，其在短短100多年曆史中爲數學界的發展貢獻了半壁江山。而哥廷根學派的興衰除了標誌着數學中心的轉移，也標誌着從工業革命開始興盛，主宰世界 200 年的歐洲

開始衰弱，再也不是科學的中心，科學家心中的殿堂。

1. 創始

       故事開端於文藝復興思潮的傳播與蔓延。1734 年（雍正十二年），文藝復興的思潮已經浸染整個歐洲大地，那時，漢諾威王朝統治德國漢諾威地區以及整個英國土地。身爲英國國王及漢諾威大公的喬治二

世決定委派其重臣馮·明希豪森在德國哥廷根創辦一所大學，旨在弘揚歐洲啓蒙時代學術自由的理念，哥廷根大學也所以一開歐洲大學學術自由之風氣。

      

            英王喬治二世，哥廷根大學創始人，第一任校長

       在此後的200多年間，哥廷根大學爲人類的進步培養了一大批傑出數學家，物理學家。

       在數學領域，哥廷根的輝煌始於數學王子高斯，在此以後，黎曼、狄利克雷、雅可比和克萊因相繼涌現，衆星璀璨，在數學的衆多領域，包括代數、幾何和分析領域作出了巨大的貢獻，一直到大衛·希爾伯

特，哥廷根數學學派進入了全盛時期。

       在物理學領域，尤爲是量子物理學方面，也是人才濟濟。著名的物理學家，包括普朗克、赫茲、海德堡、費米、泡利和奧本海默等等。據統計，先後共有46名諾貝爾獎得主，在此讀書或教學。

　　 這就是一代傳奇，哥廷根學派，源自哥廷根大學。

2. 發展

       哥廷根大學成立 61 年後，在1795 年，一位 18 歲的少年來到了哥廷根大學求學，那個時候的哥廷根大學或許怎麼樣也不會想到，本身的命運竟然會由於這個少年的到來而發生重大的改變。

                               哥廷根大學校園

        這個少年就是約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777.4.30－1855.2.23），被譽爲數學史最偉大的天才之一，彷彿是「數學之神」的阿基米德的轉世通常，被人們尊稱爲「數學王子」。

放上一張數學家圖片展可窺見其地位。

 

                                                影響世界的歷朝歷代數學家們

         高斯也是極少數被印在貨幣上的數學家，他是德元10馬克上的男人。

                                                               德元10馬克

      高斯自小就顯示出強大的數學天賦，高斯三歲的時候，當時高斯的父親在貴族的家裏當工頭，在覈算工人們的週薪，高斯看了一眼帳本，就已經可以幫父親糾正帳目的錯誤。

      在高斯11歲時，由於本身的聰慧，他的老師和他的母親將高斯舉薦給了布倫茲維克公爵卡爾·威廉·斐迪南——他人生中最重要的伯樂。也正是由於有了公爵的幫助，使少年高斯擺脫了生計之困，而使本身能夠

全身心投入數學研究。在公爵的資助下，高斯才得以進入哥廷根大學求學。 1807 年高斯成爲哥廷根大學的教授，由此成爲了哥廷根學派的開山祖師爺。

3. 繁盛

        高斯是一位多產的數學家，他將哥廷根學派帶上了一個高峯，高斯對數論、代數、統計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學皆有貢獻。

        以「高斯」命名的成果達100多個，屬數學家中之最，好比說高斯分佈（正態分佈），高斯模糊，高斯積分，高斯整數，高斯消元，高斯曲率，高斯濾波器，高斯引力常數。能夠說，大學物裏有高斯，高數裏有

高斯，幾乎在理工科書籍裏隨便挑一本書，都會遇到他。

        這仍是高斯並無把本身全部研究成果所有發表出來狀況下，由於高斯是一個很是謹慎的人。他對本身的工做態度是精益求精，很是嚴格地要求本身的研究成果。他本身曾說：寧肯發表少，但發表的東西是

成熟的成果。許多當代的數學家建議他，不要太認真，把結果寫出來發表，這對數學的發展是頗有幫助的。

        貝爾這樣評價高斯：在高斯死後，人們才知道他早就預見一些十九世紀的數學，並且在1800年以前已經期待它們的出現。若是他能把他所知道的一些東西泄漏，極可能比當今數學還要先進半個世紀或更多的時間。

        一個碾壓後人的例子快速傅里葉變換，即FFT。

                                                   時域頻域變換

        學通訊、信號處理的，學編碼的，誰都繞不開它，FFT通常認爲是1965年Cooley 和Tukey發明的。FFT算法是數字信號處理中極爲重要和基礎性的理論。直到如今，仍然是應用最爲普遍的DSP算法之一。

（舉例來說，你的美顏相機，磨皮確定用這個算法）

　    然而，這個算法，高斯早在1805年須要計算彗星軌道的時候已經順便搞出來了，只是把沒有把這部分的研究成果公開發表。也就是說，後人在150多年後，才辛辛苦苦從新發明了高斯曾經總結出的算法。

       高斯雖然並不熱愛教書，可是他仍是爲哥廷根學派培養了衆多的數學人才，讓哥廷根學派在短短几十年的時間裏獲得迅速的發展，爲德國成爲世界科學中心和數學中心創造了條件。自此以後，哥廷根在

很長時間裏一直都是世界學術中心。

 4. 全盛

       1855 年高斯去世，解析數論的創始人，高斯的學生狄利克雷，做爲高斯的繼任者，從柏林來到了哥廷根大學任教。他對函數論、位勢論和三角級數論都有重要貢獻，常常參加以傅里葉爲首的青年數學家小組的

活動，深受傅里葉學術思想的影響，能夠說緊密團結和培養了一大批優秀的數學家。

              狄裏克雷

       然而僅僅3年以後，1858年夏他去瑞士蒙特勒開會，做記念高斯的演講，在那裏突發心臟病。狄利克雷雖平安返回了哥廷根，但在病中遭受妻子中風身亡的打擊，病情加劇，於1859年春與世長辭，年僅 54 歲。

       狄利克雷去世以後，高斯的另外一位天才學生黎曼成爲了哥廷根學派的領袖。

                                黎曼

       黎曼是一名極具創新精神的數學家，他在十幾歲的時候就曾只用6天時間讀完了厚達859頁的勒讓德數學名著《數論》，他擅長對概念的創造與想象，黎曼ζ函數，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空間，黎曼

映照定理，黎曼-希爾伯特問題，柯西-黎曼方程，黎曼思路迴環矩陣都是他的成果。

       1854年，黎曼發表了《論關於做爲幾何學基礎的假設》，黎曼幾何由此誕生。黎曼幾何不但致使了另外一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生；並且，更出乎意料的是，它居然在半個多世紀後引導愛因斯坦成功地創立

了廣義相對論。現在，黎曼幾何已成爲理論物理學必備的數學基礎了。

       1859年，黎曼被選爲了柏林科學院的通訊院士。做爲對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題爲《論小於已知數的質數個數》的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜測的「誕生地」。然而已過了

160年時間，黎曼猜測仍未被後人證實，雖然一些極具野心的人士聲稱已證實，但至今未獲得同行的承認。這一猜測，當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以它（或其推廣形式）的成立爲前提。

        然而，天妒英才，黎曼的學術生涯只有短短16年，1866 年，40歲時黎曼就不幸去世。

        在狄利克雷和黎曼都過早隕落，缺少繼承人，哥廷根學派一時之間羣龍無首，進入了短暫的沉寂。

       19世紀70年代，普魯士統一了德意志。德國爲了趕英超法，德國政府在國內大力實行鼓勵科學發展的政策，大量的人力與財力支援辦好哥廷根大學，衆多的科學人才都紛紛來到哥廷根，1866 年，哥廷根大學鄭重邀

請克萊因來到哥廷根，成爲哥廷根學派的領袖，由此開始了哥廷根學派的中興之路。

                                                  克萊因

       當時克萊因已是蜚聲歐洲的大數學家，他擅長把物理概念用在函數理論上，他提出的將各類幾何用它們的基礎變換羣來分類的愛爾蘭根綱領曾一度影響數學界的發展，你們最熟悉克萊因的應該就是克萊因瓶了。

爲了實現哥廷根學派的中興，克萊因認爲不破不立，哥廷根的數學必須有新的領軍人物，才能找回本身昔日的榮耀。克萊因的原則是聘請年輕的新星，而不是那些已經成名的數學家。

       二者的區別在於年輕的數學家更富有創造性思惟，更加具備激情投注於數學事業。克萊因的選才標準往後也成爲哥廷根的數學傳統，在哥廷根這些老一輩數學教授退休或去世後，他們的繼任者都是清一色的數學新星。

       克萊因的眼光可謂毒辣和精準，他一眼就發現了被譽爲」數學之王「的希爾伯特，1895 年，克萊因提議並說服了德意志教育文化部和哥廷根教授會，聘請希爾伯特來繼任著名物理學家、高斯最要好的夥伴韋伯的職位，

當時希爾伯特只有 33 歲。

 

                                                  大衛.希爾伯特

        而在克萊因的手裏，哥廷根學派發展出來了三大派別，以普朗克、索末菲爲首的哥廷根物理學派，特別是索末菲，他一輩子得到 81 個諾獎提名，卻終生未得諾獎，他直接教導的學生就有 9 位得到諾獎。由此19世紀末到

20世紀初，這一時期，哥廷根大學在全歐乃至世界上的學術地位達到了頂峯。在這半個世紀從這裏走出的諾貝爾獎得主人數位居世界大學第八位，創造了「哥廷根諾貝爾奇蹟」，成爲了世界物理的研究中心。

       而後就是普朗特爲首的哥廷根流體力學學派，哥廷根流體力學學派由馮·卡門在美國發揚光大，高曉鬆的外婆、中國第一個空氣動力學專業奠定者陸士嘉；兩彈一星元勳錢學森、郭永懷；中國力學之父錢偉長；中國近代

力學奠定人周培源都是出自哥廷根流體力學學派。

                                      普朗特、馮·卡門、錢學森三代師徒

       再有就是哥廷根數學學派，哥廷根數學學派在希爾伯特的手裏甚至超越了高斯時期，達到了史無前例的巔峯，希爾伯特在哥廷根任教授期間，他前後在幾何學公理化、變分法、積分方程和數學基礎方面作出了巨大的貢

獻，引領着數學的發展。

       不少大牛都曾來到哥廷根進行交流研究，像愛因斯坦，也曾來到哥廷根，爲了尋找相對論的數學基礎來跟希爾伯特學習。能夠這麼說，他幾乎與愛因斯坦同時（甚至是早十幾天）獲得廣義相對論的場方程，可是他見了

愛因斯坦以後，仍是把優先權讓給了愛因斯坦，他還說愛因斯坦纔是把引力和彎曲失控聯繫起來的第一人。

       希爾伯特一個偉大的成就是提出了「希爾伯特問題」。1900年，這是19世紀的結束也是一個新的世紀的到來。在此次巴黎國際數學家表明大會上，希爾伯特發表了題爲《數學問題》的著名講演，表示這將領導新世紀的數

學新潮流。他根據19世紀數學研究的成果與發展趨勢而提出了23個問題，這23個問題統稱希爾伯特23問。希爾伯特問題能夠說成爲了20世紀數學發展的一盞明燈，爲數學的將來探索指引了一條方向。

       直至今日，希爾伯特問題依然是成爲許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深入的影響，並起了積極的推進做用。

       現在希爾伯特問題中有些已獲得圓滿解決，有些至今仍未獲得解決。他在講演中所闡發的每一個數學問題的解決，都是對數學工做者是一種巨大的鼓舞，也激勵着數學家們前赴後繼去探索數學未知的領域。

       而希爾伯特在領導哥廷根數學學派上，憑藉着本身無與倫比的魅力吸引着世界各地的年輕人像朝聖般地奔向哥廷根，光他指導的博士就有七八十人。大批青年學者涌向哥廷根，不只從德國、歐洲，並且來自亞洲，特別是

美國。據統計，1862—1934年間獲外國學位的美國數學家114人，其中34人是在哥廷根獲博士學位的，那個時候不少有影響的論文都是用德語寫的。廷根學派成爲了世界數學家的搖籃和聖地，是國際數學中心。當時全世界學

數學的學生中，最響亮的口號就是「打起你的揹包，到哥廷根去」。

       那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥閔可夫斯基爲狹義相對論提供了數學框架——閔可夫斯基四維幾何；外爾最先提出規範場理論，併爲廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生

的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；「現代數學之母」諾特以通常理想論奠基了抽象代數的基礎，並在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學你們，他在偏微分方程求解方面的工做爲空氣動力學等

一系列實際課題掃清了道路。

       這個時候的哥廷根羣星璀璨，熠熠生輝，你們都自由徜徉在數學的殿堂之中，任憑思想的火花碰撞。

 5. 遲幕

      1933 年，忽然的浩劫降臨，毀滅了哥廷根學派，那一年，希特勒上臺了，頒佈了一系列針對猶太人的法令。因爲很多哥廷根大學的教授都是猶太人，致使很多猶太裔的教授出走。絕大多數哥廷根派的教授逃亡美國。如諾特、

柯朗、馮·諾依曼等。哥廷根數學學派遭受了重大的打擊，僅剩希爾伯特苦苦支撐，1943年希爾伯特在孤獨中逝世。

                                                              大衛·希爾伯特之墓

       哥廷根學派完全凋零，諾特的得意門生範德瓦爾登豎起了哥廷根數學學派的大旗，也算是培育了一批數學家，然而仍然沒法挽回哥廷根學派的命運。1996 年，範德瓦爾登去世，哥廷根學派完全消寂。

       而諾特、柯朗、馮·諾依曼等人遠走美國，以前在哥廷根留學的衆多美國學子也由於二戰紛紛返回美國，再加上菲爾茲的努力，1924年在多倫多召開的國際數學家大會促進了北美的數學發展和數學家之

間的國際交流，再加上希特勒的暴政，北美的數學獲得了快速的發展。

       後來，外爾和馮·諾依曼在美國的普林斯頓高等研究所任教授，柯朗在紐約大學任教，共同創辦了聞名中外的應用數學研究所。普林斯頓取代哥廷根成爲世界數學的中心，美國由此完全取代了歐洲的學術

中心地位，成爲了國際數學中心，一直至今。

        馮·諾依曼等人後來更是帶領人類進入了核武器以及計算機時代，掌握了大批人才的美國擁有着衆多的專利技術，由此掌握了全球經濟、軍事的話語權。

6. 結語

        哥廷根數學學派 200 年的興衰史也是歐洲 200 年來的興衰史。哥廷根學派的輝煌得益於重視學術交流，擁有自由、平等的討論和相互緊密合做的學術氣氛，而大膽啓用衆多廣泛年輕、思想活躍、富有

創造性的數學新星，這是哥廷根學派充滿活力的一個重要緣由。

        哥廷根數學的衰弱也能夠看出歐洲已再也不是世界的中心，人才紛紛外流到更自由、民主、經濟更有活力的美國。因此，若是想要學術發展，惟有創造一個言論自由、開放包容的環境，這樣人才天然會被

吸引而來。若是一個社會，公民的言論沒法自由表達，瞭解到的信息都是千篇一概的大唱讚歌，大部分人在政權的驅使下都爲吃穿住的基本生計奔波，執政者執迷於GDP數字的增加與竭力宣傳的「和諧盛世」，

這樣的社會註定不會產生影響人類的偉人，只能稱爲自嗨。