算法小專欄：遞歸與尾遞歸

級別： ★☆☆☆☆
標籤：「算法」「遞歸」「recursion」
做者： MrLiuQ
審校： QiShare團隊

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本篇將介紹遞歸與尾遞歸的相關內容。

1、什麼是「遞歸」？

遞歸是一種優雅的解決問題的方法。

看一段最簡單的遞歸例子：

Fibonacci數（斐波那契數）：咱們都知道Fibonacci數的遞推公式爲：

• F(0)=F(1)=1，
• 當n>=2時，F(n)=F(n-1)+F(n-2)

用Python寫，就是這樣：

def Fibonacci(n):
    if(n>=2):
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2)
    elif (n==0 or n==1):
        return 1
    else:
        return -1

print Fibonacci(20)
複製代碼

遞歸，簡單來講，就是在運行的過程當中調用本身。

遞歸能幫咱們處理一些複雜的算法問題，但毫不能濫用遞歸。 在程序設計角度，循環的性能要好於遞歸。 從開發角度，使用遞歸，邏輯上更容易被理解。 因此，要分場合使用遞歸，用好遞歸。

2、基線條件和遞歸條件

一個遞歸的實現必定少不了基線條件和遞歸條件。

那麼，什麼是「基線條件」？什麼又是「遞歸條件」呢？

名稱	描述
遞歸條件	函數調用本身的條件。
基線條件	函數再也不調用本身的條件，從而避免造成無限循環。

拿上面Fibonacci的例子來講，

def Fibonacci(n):
    if(n>=2):
        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2)
    elif (n==0 or n==1):
        return 1
    else:
        return -1
複製代碼

• 遞歸條件：就是 if(n>=2)。
• 基線條件：就是 elif (n==0 or n==1)。

PS：在python中，else if的語法是elif。

3、棧

本節涉及到了內存方面的知識——調用棧（call stack）。

棧是一種簡單的數據結構，當咱們調用方法時，系統會執行「壓棧」操做；當咱們調用完方法時，系統會執行「出棧」操做。

簡單來講，

• 函數調用 就意味着 => 申請棧幀，函數入棧。
• 函數返回 就意味着 => 推出棧幀，函數出棧。

PS：不過還有一種特殊的狀況：叫作尾調用優化（其本質是複用棧幀，即函數調用時，再也不申請新棧幀，而是複用舊的棧幀。），在下文3.3節會重點講解。

3.1 調用棧

咱們來看這樣一段代碼：

def func1(param1):
    func2(param1)
    func3(param1)

def func2(param2):
    print param2

def func3(param3):
    print param3

func1(647)
複製代碼

解析：定義了三個函數，分別是func1、func2、func3。其中傳入的參數名爲param1、param2、param3。

而在內存中，會作以下操做：

3.2 遞歸調用棧

遞歸函數也會使用調用棧，咱們稱之爲「遞歸調用棧」。

下面，請看這個例子：

def factorial(x):
    if x == 1:
        return 1
    else:
        return x * factorial(x-1)

print factorial(3)
複製代碼

解析：這是一個求階乘的遞歸函數。傳入參數x，得出x*x-1...*1的值（x>=1）。 而每一次遞歸，都會申請一個棧幀，這種棧幀就叫作遞歸調用棧。

圖解以下：

3.3 尾遞歸

尾遞歸是一種高級遞歸方式，它能夠不斷的複用舊棧幀，已達到最大的內存優化。

注意：不是全部語言都支持尾遞歸優化（尾調用優化）。
JavaScript、Objective-C、Java、C++等支持尾遞歸優化，而Python自己是不支持尾遞歸優化的。
（關於iOS中OC的尾調用優化能夠看這篇：iOS objc_msgSend尾調用優化機制詳解）

Q1：什麼是尾遞歸？什麼又是尾調用？

尾遞歸：在函數最後一步，僅僅返回調用了自身。（注意僅僅兩字） 尾調用：在函數最後一步，僅僅返回了一個函數。（注意僅僅兩字） 因此，尾遞歸其實是屬於尾調用的一種特殊情形。

Q2：舉個尾遞歸的例子？

int fun(int x) {
  if (x > 0)
    return fun(x-1);
  else
    return 1;
}
複製代碼

在函數的最後一步，僅僅return了自己的函數。符合尾遞歸。

Q3：尾遞歸究竟作了什麼優化？

兩張對比圖一目瞭然：

• 非尾調用：

• 是尾調用：

Q4：尾遞歸的本質是什麼？

答：棧幀的重複利用。

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