爲何紅黑樹的效率比較高

紅黑樹屬於平衡二叉樹。它不嚴格是由於它不是嚴格控制左、右子樹高度或節點數之差小於等於1，但紅黑樹高度依然是平均log(n)，且最壞狀況高度不會超過2log(n)。

紅黑樹(red-black tree) 是一棵知足下述性質的二叉查找樹：

1. 每個結點要麼是紅色，要麼是黑色。

2. 根結點是黑色的。

3. 全部葉子結點都是黑色的（實際上都是Null指針，下圖用NIL表示）。葉子結點不包含任何關鍵字信息，全部查詢關鍵字都在非終結點上。

4. 每一個紅色結點的兩個子節點必須是黑色的。換句話說：從每一個葉子到根的全部路徑上不能有兩個連續的紅色結點

5. 從任一結點到其每一個葉子的全部路徑都包含相同數目的黑色結點

 

紅黑樹相關定理

1. 從根到葉子的最長的可能路徑很少於最短的可能路徑的兩倍長。

      根據上面的性質5咱們知道上圖的紅黑樹每條路徑上都是3個黑結點。所以最短路徑長度爲2(沒有紅結點的路徑)。再根據性質4(兩個紅結點不能相連)和性質1，2(葉子和根必須是黑結點)。那麼咱們能夠得出：一條具備3個黑結點的路徑上最多隻能有2個紅結點(紅黑間隔存在)。也就是說黑深度爲2（根結點也是黑色）的紅黑樹最長路徑爲4，最短路徑爲2。從這一點咱們能夠看出紅黑樹是 大體平衡的。 (固然比平衡二叉樹要差一些，AVL的平衡因子最多爲1)

 

2. 紅黑樹的樹高(h)不大於兩倍的紅黑樹的黑深度(bd)，即h<=2bd

      根據定理1，咱們不難說明這一點。bd是紅黑樹的最短路徑長度。而可能的最長路徑長度(樹高的最大值)就是紅黑相間的路徑，等於2bd。所以h<=2bd。

 

3. 一棵擁有n個內部結點(不包括葉子結點)的紅黑樹的樹高h<=2log(n+1)

      下面咱們首先證實一顆有n個內部結點的紅黑樹知足n>=2^bd-1。這能夠用數學概括法證實，施概括於樹高h。當h=0時，這至關因而一個葉結點，黑高度bd爲0，而內部結點數量n爲0，此時0>=2^0-1成立。假設樹高h<=t時，n>=2^bd-1成立，咱們記一顆樹高 爲t+1的紅黑樹的根結點的左子樹的內部結點數量爲nl，右子樹的內部結點數量爲nr，記這兩顆子樹的黑高度爲bd'（注意這兩顆子樹的黑高度必然一 樣），顯然這兩顆子樹的樹高<=t，因而有nl>=2^bd'-1以及nr>=2^bd'-1，將這兩個不等式相加有nl+nr>=2^(bd'+1)-2，將該不等式左右加1，獲得n>=2^(bd'+1)-1，很顯然bd'+1>=bd，因而前面的不等式能夠 變爲n>=2^bd-1，這樣就證實了一顆有n個內部結點的紅黑樹知足n>=2^bd-1。

        在根據定理2，h<=2bd。即n>=2^(h/2)-1，那麼h<=2log(n+1)

        從這裏咱們可以看出，紅黑樹的查找長度最多不超過2log(n+1)，所以其查找時間複雜度也是O(log N)級別的。

紅黑樹的操做

 

由於每個紅黑樹也是一個特化的二叉查找樹，所以紅黑樹上的查找操做與普通二叉查找樹上的查找操做相同。然而，在紅黑樹上進行插入操做和刪除操做會致使不 再符合紅黑樹的性質。恢復紅黑樹的屬性須要少許(O(log n))的顏色變動(實際是很是快速的)和不超過三次樹旋轉(對於插入操做是兩次)。 雖然插入和刪除很複雜，但操做時間仍能夠保持爲 O(log n) 次 。

 

紅黑樹的優點

 

紅黑樹可以以O(log2(N))的時間複雜度進行搜索、插入、刪除操做。此外,任何不平衡都會在3次旋轉以內解決。這一點是AVL所不具有的。

並且實際應用中，不少語言都實現了紅黑樹的數據結構。好比 TreeMap, TreeSet(Java )、 STL(C++)等。