爲何有負頻率，什麼是相位譜 —— 關於傅立葉變換的隨筆

今天和人談起了傅立葉變換，被問到爲何有負頻率，加上以前也被問到過相位譜是個什麼東西，爲何傅立葉變換的結果是複數，等等問題。因而想把相關的概念寫下來，供你們參考。仍是老樣子，這裏的敘述只爲說明概念，並不嚴謹。

以 \( T \) 爲週期的函數 \( c(t) \) 能夠由 \( e^{ik\omega t} (k \in \mathbb{Z},  \omega=\frac{2\pi}{T}) \) 函數族展開，即

$$ c(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{ik\omega t} $$

而

$$ c_k = \frac{1}{T}\int_0^Tc(t)e^{-ik\omega t}dt $$

關於正、負頻率係數之間的關係

由於 \(e^{i t} = cos(t) + i sin(t)\) ，咱們把 \( c_k \) 的計算公式展開爲

$$ c_k = \frac{1}{T}\int_0^Tc(t)[cos(-k\omega t) + i sin(-k\omega t)] dt = \frac{1}{T}\int_0^Tc(t)[cos(k\omega t) - i sin(k\omega t)] dt$$

一樣能夠獲得

$$ c_{-k} = \frac{1}{T}\int_0^Tc(t)[cos(k\omega t) + i sin(k\omega t)] dt $$

對比可知\( c_k \)和\( c_{-k} \)實際上是一對共軛複數，咱們記 \( c_k = a + i b\) ，則 \( c_{-k} = a - i b \)。

考察 \( c(t) \) 展開式中的求和

$$ c(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{ik\omega t} = c_0 + \sum_{k = 1}^{+\infty}(c_k e^{ik\omega t} + c_{-k} e^{-ik\omega t})$$

而 

$$ c_k e^{ik\omega t} + c_{-k} e^{-ik\omega t} = (a + i b)(cos(k\omega t) + i sin(k\omega t)) + (a - i b)(cos(-k\omega t) + i sin(-k\omega t))$$

記 \( \theta = k\omega t\)，則上式整理後能夠獲得

$$ c_k e^{ik\omega t} + c_{-k} e^{-ik\omega t} = 2[a cos(\theta) - b sin(\theta) ] $$

不要在乎中間是負號，若是當初咱們記 \( c_k = a - i b\)，這裏就是完美的正號了。

因而

$$ c(t) = c_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}( a_k cos(\theta_k) - b_k sin(\theta_k)  )$$

到這裏，你應該明白了，所謂正負頻率，不過是由於咱們採用了復指數（就是那個 \( e^{it} \) 表示而產生的結果罷了——要想把\( cos(t), sin(t) \)表示成一個東西，總要付出些代價的。

好吧，一句話，根本就沒有負頻率，馬甲而已！

相位譜

上面咱們獲得了

$$ c(t) = c_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}( a_k cos(\theta_k) - b_k sin(\theta_k)  )$$

若是咱們取 \( r_k = \sqrt{a_k^2 + b_k^2}\)，則上式能夠整理成

$$c(t) = c_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}r_k( \frac{a_k}{r_k} cos(\theta_k) - \frac{b_k}{r_k} sin(\theta_k)  ) = c_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}r_k cos(\theta_k + \phi_k) $$

其中 \( \phi_k = tan^{-1}(\frac{b_k}{a_k})\)，上式中最後一步是由兩角和的餘弦公式整理獲得的。

若是這時咱們把 \( r_k \) 稱爲振幅譜，把 \( \phi_k \) 稱爲相位譜，你還以爲奇怪嗎？