冪模運算

求 a^b % m 的值，有這幾種方法：

1、由於 a % m = r 

       因此 a = mk + r 

       同乘b，得a*b = mkb + rb

       則 a* b % m = (mkb + rb) % m = r*b % m = (a % m)*b  % m = b*(a % m) % m，

　　即：(a*b) % m = (b*(a % m)) % m

　　　根據這個公式，得：a^b % m = (a * (a^b-1 % m)) % m

　   而後開始遞歸：

function recursionMod(a, b, m) {
    /*
        根據公式: (a*b) % m = (b * (a % m)) % m 遞歸
        a:5 b:15 m:6 result: 5
     */
    if (b == 1) {
        return a % m
    }
    return (a * arguments.callee(a, b - 1, m)) % m
}

　　迭代的版本：

function iterationMod(a, b, m) {
    /*
        非遞歸版本
     */
    var result = 1
    for(var i = 0 ; i < b; i++) {
        result = (a * result) % m
    }
    return result
}

 

2、先證實 (a * b) % m = (a % m) * (b % m) % m

　　證實過程：

　　　　設 a = k1 * m + r1       b = k2 * m + r2

              則: a * b = k1 * m * k2 * m + k1 * m * r2 + k2 * m * r1 + r1 * r2

　　　　則 (a *b) % m = (r1 * r2) % m = (a % m) * (b % m) % m， 得證.

　　因而，對於a¹⁷ % m，有以下過程：

　　a¹⁵  %  m = (a % m) * ( a¹⁴ % m) % m

       a¹⁴ %  m = (a_⁷ % m) * (a⁷ % m) % m

       a⁷ % m = (a % m) * (a⁶ % m) % m

       a⁶ % m = (a³ % m) * (a³ % m) % m

　　a³ % m = (a % m) * (a² % m) % m

　　a² % m = (a % m) * (a % m) % m

能夠看出，相比方法一，循環次數最多能夠下降到冪數b的一半。爲何說是最多，由於有的數要多於冪數b的一半，好比說5：

　　a⁵  %  m = (a % m) * ( a⁴ % m) % m

       a⁴ %  m = (a % m) * (a³ % m) % m

       a³ % m = (a % m) * (a² % m) % m

　　a² % m = (a % m) * (a % m) % m

循環了四次。

代碼實現以下：

function halfIterationMod(a, b, m) {
    var result = 1
    while (b>0) {
        if (b % 2 == 0) {
            a = a * a % m
            b = b / 2
        }
        else {
            result = result * a % m
            b = b - 1
        }
    }
    return result
}

 

3、對於a^b % m，對於任意正整數b，b的二進制表示爲：

    　　b = b_o * 2⁰ + b₁ * 2¹ + ......+ b_n-1 * 2^n-1，n爲二進制位數

　　因此，a^b % m = a^{(b_o * 2^0 + b₁ * 2^1 + ......+ b_n-1 * 2^(n-1))  %  m}

　　　　　　         = (a^{b₀ * 2^0} % m) *  (a^{b₁ * 2^1} % m) * ..... * (a^{b_n-1 * 2^(n-1)} %  m) % m

　　而對於任意一項：a^{b_i * 2^i，}都有：

　　　　a^{b_i * 2 ^ i}  % m = a^{b_i * 2 ^ (i-1)}  *  a^{b_i * 2 ^ (i-1)} % m

　　　　　　　　        = (a^{b_i * 2^(i-1)} % m) * (a^{b_i * 2^(i-1)} % m) % m

　　　　　　　　        = ( (a^b_i)^{2^(i-1)} % m ) * ( (a^b_i)^{2^(i-1)} % m ) % m

  　　　　　　　          = ( b_i * (a^{2^(i-1)} % m) ) *  ( b_i * (a^{2^(i-1)} % m) ) % m 

　　　　　　　　        = b_i * ( a^{2^(i-1)} % m ) * ( a^{2^(i-1)} % m ) % m

　　　　即：a^{b_i * 2 ^ i}  % m = b_i * ( a^{2^(i-1)} % m ) * ( a^{2^(i-1)} % m ) % m

係數b_i的值爲0時，a^{b_i * 2^i}是1，a^{b_i * 2^i}  % m = 1 不參與最終的計算。

值爲1時，a^{b_i * 2 ^ i}  % m 的值是前一項的平方，再取模。

代碼實現以下：

function shiftMod(a, b, m) {
    var result = 1
    var base = awhile (b) {
        if (b & 1) {
            result = result * base % m
        }
        base = base * base % m
        b = b >>> 1
    }
    return result
}

 

測試

測試代碼：

var a = 23, b = 23, m = 5

var dateNow = new Date()
var t = recursionMod(a, b, m)
console.log("結果:", t, " 遞歸cost:", new Date().getTime() - dateNow.getTime())

dateNow = new Date()
t = iterationMod(a, b, m)
console.log("結果:", t, " 全循環迭代cost:", new Date().getTime() - dateNow.getTime())

dateNow = new Date()
t = halfIterationMod(a, b, m)
console.log("結果:", t, " 半循環cost:", new Date().getTime() - dateNow.getTime())

dateNow = new Date()
t = shiftMod(a, b, m)
console.log("結果:", t, " 蒙哥馬利cost:", new Date().getTime() - dateNow.getTime())

對於，a = 23, b = 23, m = 5，輸出：

 a = 23, b = 23, m = 5

 

加大a, b 的值：

var a = 14024, b = 14024, m = 5

 遞歸報棧溢出錯誤：

其餘的方法正常。

 

繼續加大a，b的值： var a = 140242222, b = 140224222, m = 5，此時迭代的耗時劇增：

 

再對a，b各增長10倍： var a = 1402422222, b = 1402242222, m = 5，此時等好久：

 再加大：var a = 3453456456534545, b = 3453456456534545, m = 9576

這兩個的結果居然不同？ 難道是算法出錯了麼？ 或者是數太大了溢出了？

看看JS裏的最大安全整數值是多少：

是16位的數字

而a的值位數是：

也是16位，在上面的代碼裏都有 a * a 的運算，16位乘16位，結果確定溢出了。