Java-揹包算法實現

介紹

給定 n 種物品和一個容量爲 C 的揹包，物品 i 的重量是 $w_i$，其價值爲 $v_i$
問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

揹包問題是具備許多應用的組合優化問題

揹包問題

在揹包問題中，咱們有一組物品。每一個物品都有重量和價值：

咱們想將這些物品放入揹包。可是，它有一個重量限制：

所以，咱們須要選擇總重量不超太重量限制的物品，而且其總價值達到最高。 例如，上述示例的最佳解決方案是選擇5kg和6kg物品，它們在重量限制內的最大值爲40元。

揹包問題有幾種變化，咱們將重點介紹0-1揹包問題。在0-1揹包問題中，必須選擇每一個物品或將其留在後面。咱們不能取一部分物品。另外，咱們不能屢次取一件物品。

數學公式

如今讓咱們以數學符號形式化0-1揹包問題。給定一組n個物品和重量限制W，咱們能夠將優化問題定義爲：

**這個問題是NP徹底難題
)。**所以，目前尚無多項式時間算法能夠解決。可是，對於此問題，可使用動態規劃算法思路來解決。

遞歸算法

使用遞歸公式來解決此問題：

在該公式中，$M_(n,w)$ 是重量限制爲w的n個物品的最優解。它是如下兩個值中的最大值：

重量限制爲w的（n-1）個物品的最優解（不包括第n個項目）
第n個物品的值加上（n-1）個物品的最優解和w減去第n個物品的權重（包括第n個物品）
若是第n項的重量大於當前的重量限制，則不包括在內。所以，它屬於上述兩種狀況的第一類。

Java中實現此遞歸公式代碼：

在每一個遞歸步驟中，咱們須要評估兩次最優解決邏輯，所以，此遞歸解決方案的運行時間爲O（$2^n$）。

動態規劃算法

動態規劃思路是一種用於線性化，指數級遞增的編程算法的思路，這個思路是存儲子問題的結果，這樣咱們之後就沒必要從新計算它們了。

咱們還能夠經過動態規劃解決0-1揹包問題。要使用動態規劃中，咱們使用自下而上的方法來計算最佳解決方案：

/**
     * @param w : 已知物品重量數組集合
     * @param v  : 已知物品價值數組集合
     * @param n  ： 最大價值，0 表示不要求
     * @param W : 最大重量，0 表示不要求
     * @author 油膩的Java
     * @date 2019/11/5
     * @return
     */
    public int knapsackDP(int[] w, int[] v, int n, int W) {
        if (n <= 0 || W <= 0) {
            return 0;
        }

        /**
         * 建立臨時數組
         */
        int[][] m = new int[n + 1][W + 1];
        for (int j = 0; j <= W; j++) {
            m[0][j] = 0;
        }

        /**
         * 遍歷n和W,
         */
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= W; j++) {
                if (w[i - 1] > j) {
                    //對m數組進行賦值
                    m[i][j] = m[i - 1][j];
                } else {
                    //求最大值
                    m[i][j] = Math.max(m[i - 1][j], m[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
                }
            }
        }
        return m[n][W];
    }

在代碼中，咱們在商品價值n和重量限制W上有一個嵌套循環。所以，它的運行時間爲O（nW）。

單元測試

最後針對各自的場景作了一下單元測試

同時知足價格，重量最大化

最大重量最優解

最大價格最優解

結論

本文經過編寫遞歸算法、動態規劃算法來解決揹包0-1問題，以及測試相應的單元測試，但願在揹包算法對你有新的認知。