經典算法題每日演練——第十題 樹狀數組

有一種數據結構是神奇的，神祕的，它展示了位運算與數組結合的神奇魅力，太牛逼的，它就是樹狀數組，這種數據結構不是神人是發現不了的。

一：概序

     假如我如今有個需求，就是要頻繁的求數組的前n項和，而且存在着數組中某些數字的頻繁修改，那麼咱們該如何實現這樣的需求？固然你們能夠往

真實項目上靠一靠。

① 傳統方法：根據索引修改成O(1)，可是求前n項和爲O(n)。

②空間換時間方法：我開一個數組sum[]，sum[i]=a[1]+....+a[i]，那麼有點意思，求n項和爲O(1)，可是修改卻成了O(N)，這是由於個人Sum[i]中牽

                         涉的數據太多了，那麼問題來了，我能不能在相應的sum[i]中只保存某些a[i]的值呢？好吧，下面咱們看張圖。

從圖中咱們能夠看到S[]的分佈變成了一顆樹，有意思吧，下面咱們看看S[i]中到底存放着哪些a[i]的值。

S[1]=a[1];

S[2]=a[1]+a[2];

S[3]=a[3];

S[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

S[5]=a[5];

S[6]=a[5]+a[6];

S[7]=a[7];

S[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

之因此採用這樣的分佈方式，是由於咱們使用的是這樣的一個公式：S[i]=a[i-2^k+1]+....+a[i]。

其中：2^k 中的k表示當前S[i]在樹中的層數，它的值就是i的二進制中末尾連續0的個數，2^k也就是表示S[i]中包含了哪些a[]，

舉個例子:  i=6₁₀=0110₂ ；能夠發現末尾連續的0有一個，即k=1，則說明S[6]是在樹中的第二層，而且a[]有2¹項，隨後咱們求出了起始項：

            a[6-2¹+1]=a[5]，可是在編碼中求出k的值仍是有點麻煩的，因此咱們採用更靈巧的Lowbit技術，即：2^k=i&-i 。

           則： a[6-2¹+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]。

二：代碼

1:神奇的Lowbit函數

#region 當前的sum數列的起始下標
         /// <summary>
         /// 當前的sum數列的起始下標
         /// </summary>
         /// <param name="i"></param>
         /// <returns></returns>
         public static int Lowbit(int i)
         {
             return i & -i;
         }
         #endregion

2:求前n項和

     好比上圖中，如何求Sum(6)，很顯然Sum(6)=S₄+S_6，那麼如何尋找S4呢？即找到6之前的全部最大子樹，很顯然這個求和的複雜度爲logN。

#region 求前n項和
         /// <summary>
         /// 求前n項和
         /// </summary>
         /// <param name="x"></param>
         /// <returns></returns>
         public static int Sum(int x)
         {
             int ans = 0;
 
             var i = x;
 
             while (i > 0)
             {
                 ans += sumArray[i - 1];
 
                 //當前項的最大子樹
                 i -= Lowbit(i);
             }
 
             return ans;
         }
         #endregion

3：修改

如上圖中，若是我修改了a[5]的值，那麼包含a[5]的S[5]，S[6]，S[8]的區間值都須要同步修改,咱們看到只要沿着S[5]一直回溯到根便可，

一樣它的時間複雜度也爲logN。

public static void Modify(int x, int newValue)
         {
             //拿出原數組的值
             var oldValue = arr[x];
 
             for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))
             {
                 //減去老值，換一個新值
                 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;
             }
         }

最後上總的代碼:

View Code
 using System;
 using System.Collections.Generic;
 using System.Linq;
 using System.Text;
 using System.Diagnostics;
 using System.Threading;
 using System.IO;
 
 namespace ConsoleApplication2
 {
     public class Program
     {
         static int[] sumArray = new int[8];
 
         static int[] arr = new int[8];
 
         public static void Main()
         {
             Init();
 
             Console.WriteLine("A數組的值:{0}", string.Join(",", arr));
             Console.WriteLine("S數組的值:{0}", string.Join(",", sumArray));
 
             Console.WriteLine("修改A[1]的值爲3");
             Modify(1, 3);
 
             Console.WriteLine("A數組的值:{0}", string.Join(",", arr));
             Console.WriteLine("S數組的值:{0}", string.Join(",", sumArray));
 
             Console.Read();
         }
 
         #region 初始化兩個數組
         /// <summary>
         /// 初始化兩個數組
         /// </summary>
         public static void Init()
         {
             for (int i = 1; i <= 8; i++)
             {
                 arr[i - 1] = i;
 
                 //設置其實座標：i=1開始
                 int start = (i - Lowbit(i));
 
                 var sum = 0;
 
                 while (start < i)
                 {
                     sum += arr[start];
 
                     start++;
                 }
 
                 sumArray[i - 1] = sum;
             }
         }
         #endregion
 
         public static void Modify(int x, int newValue)
         {
             //拿出原數組的值
             var oldValue = arr[x];
 
             arr[x] = newValue;
 
             for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))
             {
                 //減去老值，換一個新值
                 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;
             }
         }
 
         #region 求前n項和
         /// <summary>
         /// 求前n項和
         /// </summary>
         /// <param name="x"></param>
         /// <returns></returns>
         public static int Sum(int x)
         {
             int ans = 0;
 
             var i = x;
 
             while (i > 0)
             {
                 ans += sumArray[i - 1];
 
                 //當前項的最大子樹
                 i -= Lowbit(i);
             }
 
             return ans;
         }
         #endregion
 
         #region 當前的sum數列的起始下標
         /// <summary>
         /// 當前的sum數列的起始下標
         /// </summary>
         /// <param name="i"></param>
         /// <returns></returns>
         public static int Lowbit(int i)
         {
             return i & -i;
         }
         #endregion
     }
 }