關於連續統假設

1.連續統假設的來源及其歷史演變

連續統假設，簡稱CH，是康托爾在創立集合論時提出的一個問題，要了解這個問題，就必須瞭解康托爾是怎樣創建集合論的.

康托爾採用了兩種方法來構造愈來愈大的無窮集合

第一種方法是利用冪集合，他證實了一個集合總比其冪集合要小，並且天然數集N的冪集合P(N)與實數集R等勢，即：元素個數相等，這樣，從天然數集N開始，利用冪集合方法，就能夠造成一系列愈來愈大的無窮冪集合.

N, P(N), P(P(N)),...

第二種方法是利用超窮數，康托爾提出了生成超窮序數的三條原則: 第一原則，從1開始，任何序數α加1後還是一個序數，這樣，從1開始，就能夠造成一個無窮序數序列.

1,2,3,…,n,…

在這個無窮序數序列中沒有最大序數存在; 第二原則，若是一個無窮序數序列中沒有最大序數，那麼必然存在一個極限序數ω，這是一個新的序數，這樣，從ω開始反覆加1，又能夠獲得一系列無窮極限序數.

ω,…, 2ω,…,ω2,…,ωn,…

但這些極限序數都是等勢的，第三原則，康托爾認爲，這個極限序數序列中也沒有最大序數，因此必然存在一個更大的超窮序數ω1，它比上述序列中任何一個極限序數的勢都要大，這樣，反覆利用這三條原則，就能夠造成一系列愈來愈大的無窮極限序數，又被稱爲超窮基數.

ω1,…,ω2,…,ωn,…

康托爾天然就提出這樣一個問題：實數集R的基數2ω到底和上述哪一個超窮基數等勢呢?他認爲2ω等於ω1，這就意味着在N和R之間不存在其餘無窮集合，但康托爾不能給出證實，這一問題就被稱爲連續統假設，後來，人們把CH進行了推廣，認爲對於任何一個超窮基數ωn,都有2^(ωn)=ωn+1成立，這就是廣義連續統假設GCH.

但不久人們就在康托爾的集合論中發現了悖論，爲了消除這些悖論，就開始對集合論進行公理化處理，並前後創建了幾個集合論公理系統，這些系統被證實都是等價的，人們一般使用的是ZFC，進行公理化後，基本上都能消除悖論.

可是，接着又出現了新的問題，哥德爾和柯恩一塊兒證實了：CH在ZFC中是不可斷定的，這一結果當即引發了人們對數學基礎問題的極大爭論，其中，哥德爾和柯恩兩人的見解是具備表明性的.

柯恩是個形式主義者，他認爲CH問題「是沒有內在的意義的」，在他看來，CH在集合論中的地位，就相似於平行公理在幾何學中的地位，它可能成立也可能不成立，所以就存在不一樣的集合論公理系統，就好像存在不一樣的幾何學同樣，他還把CH不成立的集合論稱爲非康托爾集論，柯恩的見解贏得了大多數數學家的贊同，這是主流的觀點，一些極端的形式主義者甚至認爲2ω能夠等於任何一個ωn，每一種可能都描述了連續統上一種不一樣的流形結構，從這種意義上來講，CH問題已經獲得瞭解決.

但哥德爾恐怕很難贊成上述意見，他是個客觀主義者也能夠說是柏拉圖主義者，他認爲像CH這樣一個命題是徹底能夠做出斷定的，而CH在ZFC中的不可斷定性，「只能意味着這些公理沒有包括那個實在(指連續統)的完備的描述」，說得更直觀一點，像「在天然數集N和實數集R之間究竟還有沒有另外一個無窮集合」這樣的問題，彷佛是應該有一個明確結論的，從這種意義上來講，CH問題尚未獲得解決.

但究竟怎樣來解決CH問題，兩人的意見是一致的，那就是必須從新考察集合論基礎，哥德爾認爲：「這些問題的徹底解決，只有經過對在它們中出現的詞項(如‘集合’、‘一一對應’，等等)和支配這些詞項的使用的公理進行(比一般所做的)更深刻的分析，才能獲得」，柯恩也認爲，若是要來「發展咱們的哪些公理應當被接受」，那「咱們必須整個地放棄科學的計劃而且返回差很少是本能的水平，即與人們最初開始思考數學問題時的精神狀態多少類似的狀態」，並且兩人都猜想，CH頗有多是不成立的，對此柯恩說得很明白：「由構造冪集提供的連續統，不是用以替換公理爲基礎從較低的基數出發構造較高的基數的任何過程能夠達到的，這樣，2ω將被認爲大於ω1，ω2，ωn的基數」，也就是說，2ω要大於任何超窮基數，而這正是我所證實的結果.

2.關於連續統假設的否認性證實簡介

我差很少花了十年時間來研究CH問題，個人證實思想是很是直觀和簡潔的，但整個證實的展開卻很是複雜和精緻，若是不是感覺到證實中的美，我是不會花這麼大的精力和這麼長的時間來投入其中的.

個人出發點很簡單：就是要把N的子集合來排成一個良序集，弗蘭克爾曾經指出過，由子集合公理和選擇公理產生的子集合可能與冪集合公理產生的子集合有很大差異，弗蘭克爾曾明確指出：「康托爾認爲，S的子集合就是S的一部分，子集合公理和選擇公理產生的子集合可能與康托爾的子集合概念有很大區別，在沒有弄清楚子集合的確切含義以前，不可能肯定子集合的數目」，而這也正是柯恩的猜想，根據選擇公理，咱們能夠將N的子集合排成一個良序集，選擇公理的直觀含義是指：對於任何一個無窮集合，咱們均可以從中取出一個「表明元素」來，也就是說，咱們能夠從無窮集合中取出它的任何一個元素來組成一個新的集合，這樣，按照天然數的順序依次取出1，2，3，...，n，...來做爲「表明元素」，就能夠把N的子集合排成以下一個良序集：

｛1｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝，｛1，4｝，...

｛2｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛2，3，4｝，｛2，5｝，...

｛n｝，｛n，n+1｝，｛n，n+2｝，｛n，n+1，n+2｝，｛n+3｝，...

這個良序集的排列順序與康托爾的超窮序數序列是嚴格對應的，咱們把這個良序集記做P∞(N)，稱爲「N的超冪集合」，須要注意的是，P∞(N)並不必定等於P(N)，也就是說，冪集合公理並不必定成立，這是我解決CH問題的一個關鍵性思想.

這樣，從N開始，就能夠造成一系列的無窮超冪集合:

P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N)))，...

經過從新考察集合論基礎，我發展出一種很是精緻的方法來描述超冪集合序結構的邏輯性質，但這裏就不展開討論了，並最後證實了兩個定理:

1.超冪集合P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),…的基數是逐次增大的
2.全部P∞(N), P∞(P∞(N)), P∞(P∞(P∞(N))),…的基數都小於2ω

個人證實中還包含了許多重要的內容，其中有兩個定理至關於兩個較強的哥德爾不完備性定理，有一個定理至關於勒文海姆－斯科倫定理，這就說明它決不是孤立的，與原來的集合論之間確定存在着某種內在的聯繫.

3.斷定連續統假設對數學的重大意義

數學基礎中最主要的問題就是如何處理天然數和實數的關係，即如何用離散的方法來構造連續統，自從古希臘人發現這個難題以來，至今它仍未獲得徹底解決，利用戴德金分割並不能獲得全部的實數，它最多隻能獲得全部的代數數，而絕大多數超越數是不可構造的，甚至不可知的，直覺主義數學家海廷曾經評價過，戴德金分割，這個算法仍然沒有給咱們提供任何途徑來斷定一個有理數A究竟位於C的左邊或右邊或者恰好等於C，所以，咱們將不能保證歐拉常數C是一個實數，非標準分析也給咱們提供了這樣一種印象，直線上的點實際上是無限可分的，這就說明，咱們對連續統還所知甚少，數學概括法是數學的基本方法，它是創建在天然數基礎上的，對連續統假設的否認性證實正好說明:人們能夠用這種方法去無限逼近連續統，但卻永遠也不能達到其盡頭，正如帕斯卡爾比喻的那樣：人只是漂浮在無限和虛無這兩個無底深淵之間的一葉扁舟，咱們總想要追求某種肯定性，但卻永遠也抓不住，一不當心咱們的整個基礎就會分崩離析，而下面就是那無底深淵，對於天然，咱們人類永遠只是探索者，而沒有終結者.