一道面試題 - PHP 實現階乘的若干方法

背景

前一陣子在面試騰訊 WXG 的高級 PHP 開發崗，其中一次面試留了道算法題，要求用盡量多的方法實現 PHP 的階乘，並對比各類方法的優劣。

最近全部面試都結束了，正好抽點時間寫寫博客，因而打算分享一下個人解題過程，後面抽空再分享 WXG 的七面面經。

解題

據本人瞭解，階乘的實現方法通常能夠分爲三種，一般意義下的遞歸和循環各算一種，還有一大類經過一些巧妙的數學方法減小運算次數（尤爲是乘法運算次數），進而優化計算效率。

若是要考慮到高精度、大整數的階乘，對於 PHP 語言而言，狀況會更復雜一些，好比使用 BCMath 擴展提供的一些方法時，顯式的數字與字符串轉換操做比較頻繁。

本文在只考慮 n 爲整數的狀況下，分別嘗試實現上述的幾種狀況，每種狀況給出可用的代碼示例，並在文末附上幾種方法的綜合對比狀況。

普通遞歸實現

首先是普通遞歸實現，根據遞歸的通用公式 fact(n) = n * fact(n-1) 很容易寫出階乘的計算代碼。普通遞歸實現的優勢在於代碼比較簡潔，和通用公式同樣的過程使得代碼容易理解。缺點則在於因爲須要頻繁地調用自身，須要大量的入棧出棧操做，總體的計算效率不高（見文末表格）。

function fact(int $n): int
{
    if ($n == 0) {
        return 1;
    }

    return $n * fact($n - 1);
}

普通循環實現

普通循環實現有些「動態規劃」的味道，但因爲中間態變量使用頻率低，不須要額外存儲空間，因此要比通常的動態規劃算法簡單。普通遞歸方法是自頂向下（由 n 到 1）的計算過程，而普通循環是自底向上進行計算。

所以相對而言，代碼沒有上述方法直觀，但因爲少了頻繁的入棧出棧過程，計算效率會高一些（見文末表格）。

function fact(int $n): int
{
    $result = 1;
    $num = 1;
    while ($num <= $n) {
        $result = $result * $num;
        $num = $num + 1;
    }

    return $result;
}

自行實現的大整數階乘

因爲 PHP 中 int 類型的範圍限制，上述兩種方法最多隻能精確計算到 20 的階乘。若是隻是考慮到 20 的階乘的狀況，那麼用查表法實現會更快：事先計算好 0-20 的階乘並存儲到一個數組中，須要用時查詢一次即可。

爲了可以適應大數的階乘，獲得精確的計算結果，本文基於「普通循環方法」進行改進，使用數組存儲計算結果中的每一位（由低到高位），經過相乘進位的方式依次計算每一位的結果。

不言而喻，本方法的優勢在於能夠適用於高精度的大數階乘場合，缺點就是對於小數階乘而言，計算過程複雜且速度慢。

function fact(int $n): array
{
    $result = [1];

    $num = 1;
    while ($num <= $n) {
        $carry = 0;

        for ($index = 0; $index < count($result); $index++) {
            $tmp = $result[$index] * $num + $carry;
            $result[$index] = $tmp % 10;
            $carry = floor($tmp / 10);
        }

        while ($carry > 0) {
            $result[] = $carry % 10;
            $carry = floor($carry / 10);
        }

        $num = $num + 1;
    }

    return $result;
}

BCMath 擴展方法

BCMath 是 PHP 的一個數學擴展，用於處理字符串表示的數字（任意大小和精度）的數值計算。因爲是使用 C 語言實現的擴展，計算速度會比上述自行實現的快。

在本人的筆記本上，一樣是計算 2000 的階乘，自行實現的須要平均 0.5-0.6 秒，使用 BCMath 耗時 0.18-0.19 秒。該方法的缺點主要在於須要安裝相應的擴展，屬於非代碼層面的改動，對於環境管理升級不便的應用而言，可實踐性有待商榷。

function fact(int $n): string
{
    $result = '1';
    $num = '1';
    while ($num <= $n) {
        $result = bcmul($result, $num);
        $num = bcadd($num, '1');
    }

    return $result;
}

優化算法

在本文開頭有提到，優化算法嘗試儘量地減小運算次數（尤爲是乘法的運算次數）來實現快速階乘。考慮到對於小整數階乘而言，最快的算法應該是查表法，時間複雜度爲 O(1)，因此本小節主要針對大整數的精確階乘進行討論和測試。

據瞭解，目前階乘優化比較常見的是經過 n! = C(n, n/2) * (n/2)! * (n/2)! 式子進行復雜度優化，而該式子中的亮點主要在於 C(n, n/2) 的優化。考慮到大整數狀況下，PHP 語言實現 C(n, n/2) 的效率不高，並且實現的代碼可讀性比較差（頻繁的數字與字符串的顯式轉換），因此本文用的是另一種比較巧妙的方法。

乘法的計算速度一般要低於加減法運算，經過減小乘法的運算次數能夠提升總體運算速度。經過數學概括能夠發現，對於 n 的階乘，能夠依次求出比 (n/2)^2 小 一、1+三、1+3+5... 的數值，再依次相乘獲得目標值。

該算法的優勢在於計算速度較快，而缺點就是實現過程不直觀、不易理解。經測試，如下代碼計算 2000 的階乘平均時間爲 0.11 秒，大約是普通循環方法的一半耗時。

除了這種方法優化，也有看到其它的相似的思路，好比對 1...n 中的數反覆檢驗是否被 2 整除，記錄下被 2 整除的次數 x，並嘗試概括出共同的奇數相乘式，最後乘以 2^x 獲得結果。

function fact(int $n): string
{
    $middleSquare = pow(floor($n / 2), 2);
    $result = $n & 1 == 1 ? 2 * $middleSquare * $n : 2 * $middleSquare;
    $result = (string)$result;
    for ($num = 1; $num < $n - 2; $num = $num + 2) {
        $middleSquare = $middleSquare - $num;
        $result = bcmul($result, (string)$middleSquare);
    }

    return $result;
}

綜合對比

本文中提到的方法是按照由劣到優的順序，所以，下列表格中每一行中提到優劣勢，主要是和其上一兩種方法對比。

表格中「測試耗時」一列的測試環境爲我的筆記本，硬件配置爲 Dell/i5-8250U/16GB RAM/256GB SSD Disk，軟件配置爲 Win 10/PHP 7.2.15。

總結

雖然本文將實現方法分爲三大類，但其實也能夠分爲循環和遞歸兩大類，在這兩類中分別使用相應的算法優化計算效率。But，整體而言，循環的效率要優於遞歸。

講道理，本文中使用的優化算法並非最優解，只是用 PHP 相對好實現，代碼易讀性也比較高。有興趣的讀者能夠谷歌瞭解更多的騷操做。

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