按大小選擇第K個數的問題（top-k選擇問題）

選擇問題（seletion problem）概述[1]

從N個數當中選出第k個最大者。
最簡單的兩種算法：

• 算法A1：排序-->返回k位置的數。時間複雜度O(N^2)

• 算法A2：先讀入前k個數-->排序-->逐個讀入其他-->插入/丟掉。時間複雜度O(KN)
  K=N/2 (上取整) 時，二者複雜度都是O(N^2)

新解法1、用優先隊列（堆）解決選擇問題

優先隊列基礎知識

- 優先隊列基本模型

- 優先隊列的簡單實現

方法a,鏈表：表頭插入-->遍歷鏈表刪除最小元。時間複雜度O(1)+O(N)
方法b,二叉查找樹。時間複雜度O(logN)

- 優先隊列更好的實現方案：二叉堆（簡稱堆）

a.二叉堆的結構性質
堆：徹底填滿的二叉樹。底層元素從左到右填入。（徹底二叉樹）
徹底二叉樹，高h與節點數N的關係

N = 2^h ~ 2^(h+1) - 1
h = O(logN)

徹底二叉樹很是規律-->能夠用數組表示徹底二叉樹
位置i的元素-->左兒子[2i],右兒子（2i+1）,父親(i/2)下取整
b.堆序性質
堆序性質（heap-order property）：讓操做快速執行的性質
在一個堆中，每個子節點X的父親中的關鍵字小於等於X的關鍵字，根節點除外。
c.基本的堆操做（見數據結構與算法分析P153）

用優先隊列解決選擇問題

• 算法A3：
  將N個元素讀入數組，對數組應用buildHeap算法。執行k次deleteMin操做。

buildHeap最壞狀況用時O(N)
每次deleteMin用時O(logN)
k次deleteMin-->用時O(klogN + N)

• 算法A4：
  用簡單方法A2，但用堆buildHeap來實現前k個數,耗時O(k)-->檢測新元素是否進入O(1)-->必要時刪除舊插入新O(logk)-->總時間O( k + (N - k)logk )=O( Nlogk )

新解法2、用快速排序解決選擇問題（快速選擇）

算法A5：
選取S中一個元素做爲樞紐元v，將集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那樣
若是k <= |S1|，那麼第k個最小元素必然在S1中。在這種狀況下，返回QuickSelect(S1, k)。
若是k = 1 + |S1|，那麼樞紐元素就是第k個最小元素，即找到，直接返回它。
不然，這第k個最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）個最小元素，咱們遞歸調用並返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。
此算法的平均運行時間爲O(N)。

複雜度比較

在我本身的項目中，k=1或2.因此採用算法a2或者a4比較好。a2代碼量小，果斷採用。

參考文獻

[1]數據結構與算法分析 java語言描述
[2]尋找最小的k個數 http://taop.marchtea.com/02.01.html