leecode 每日解題思路 64 Minimum Path Sum

題目描述：

題目連接：64 Minimum Path Sum

　　問題是要求在一個全爲正整數的 m X n 的矩陣中， 取一條從左上爲起點， 走到右下爲重點的路徑， （前進方向只能向左或者向右），求一條所通過元素和最小的一條路徑。

其實，題目已經給出了提示：， 動態規劃應該是最直接的解法之一。

 

 

　　這邊咱們瞭解到， 問題中只容許走到的每一個點右移或者下移，這就意味着從起點開始， 都有兩種後繼路徑（最後一行和最後一列除外），以此類推， 獲得全部路徑，而後取其中路徑和雖小的值，就能夠獲得結果了。 可是！咱們仔細想一想，若是這麼求解問題的話， 對於一個N X N 的矩陣， 他的可能路徑條數有幾條？（想一想N層的二叉樹的路徑有幾條）因此用這個思路的話， 可行， 可是不推薦，由於數據成長是O(2^N)的， 太可怕。

　　再想一想，前面提到：

其實就是意味着： 從終點開始往前推， 都有兩種前驅路徑（第一行和第一列除外），最後一個點只可能從上邊走下來，即爲path_top或者從左邊走過來path_left， 至於走哪條路， 天然是哪一條路徑和小，就選擇哪一條。

對於最後一個點1上邊路徑的最佳結果，已經從上邊的紅色區域中的帶哦並累計到3這個點（另外須要一個路徑和矩陣作記錄）

對於最後一個點左邊最小路徑的結果，已經從左邊的紅色區域中獲得並累積到8這個點（另外須要一個路徑和矩陣作記錄）

 

而對於以上紅色區域的最後一個點， 也一樣是從上層區域和左邊區域已經求得的最優解來進行2選一操做， 作成最優解。

就像這樣：

而後一直重複， 直到起點。

因此，對於(M,N)點處的結果， 必然是從（M-1）*N 矩陣 和 M* （N-1)矩陣中求取的， 

ok, 推理到這一步， 其實問題已經解決了， 全部的問題都是從起點開始， 全部的點都是由以前點上的路徑和決定的。

 

從最簡單的情形開始：對於一個2*2的舉證， [0,0] 決定了[0,1]和[1,0]， 

這樣[1,1]的最小值確定是從[0,1]的4 和 [1, 0]的7中比較取值， 因此最後的到在終點[1,1]的最小取值4+2 = 6；

咱們定義對於走到每一個點的最小路徑和矩陣path_sum[m][n], 以及給出的每一個點上的值矩陣matrix[m][n]

獲得： path_sum[i, j] =  min(path_sum[i-1][j], path_sum[i][j-1]) + matrix[m][n]

(注意， 上式中爲處理邊界是的狀況， 只指出此遞推式的核心步驟)；

說的可能有點亂， 但核心思想就是盡然你每一個非邊界的點只能日後兩條去路， 那必然非邊界的每一個點都確定也只有兩條來路， 

最優解就是這兩條來路里面2選一， done!

 

下面是我的的solution 代碼， 僅供參考