經過交換相鄰元素進行排序的算法所需平均時間爲Ω(N^2 )

• 逆序對inversion

  在正序排序算法裏，對輸入序列中的任一對元素i、j，若是排序靠前的元素i小於靠後的元素j，那麼元素i、j組成一個正序對，不然組成一個逆序對(inversion)。

  天然，當咱們把輸入序列中這些inversions都消除了，排序就完成了。

  交換相鄰的元素是消除inversion的方法之一。接下來咱們要分析的就是這種排序算法。

• inversion個數與所需交換次數是怎樣的關係呢？

  以序列 4,5,3,1,0,2 爲例，當咱們交換相鄰的逆序元素(3,1)以後，序列變成4,5,1,3,0,2，咱們消除了幾個inversion？答案是隻有1個。爲何，先來看本來排在前面的元素3，交換雖然使它的次序向後移動了一位，可是除了1以外，原來在它前面的4,5依然在它前面，原來在後面0,2也依然排在它後面，也就是說，除了inversion（3,1）的次序被糾正了，3和其餘元素的相對次序沒有發生改變，而交換前排在後面的1的狀況也是同樣。因此能夠得出結論：交換相鄰元素造成的逆序對只能消除一個inversion。

  因此，一個序列初始時刻有幾個inversions，排序過程當中對相鄰元素的交換操做就須要進行幾回。

• 總時長與inversion個數的關係

對於一個長度爲N的輸入序列，假設inversion數量爲I，由於除了交換以外還須要O(N)的額外工做，因此總時長爲O(N+I)。

• 平均狀況下，I是多少？

  最優狀況下，輸入序列呈正序排列，I = 0；

  最壞狀況下，輸出序列呈倒序排列，I = N(N-1)/2;

  因此平均狀況下，I = N(N-1)/4。

• 綜上所述，經過交換相鄰元素進行排序的算法所需平均時間爲Ω(N^2 )。像插入排序、選擇排序、冒泡排序都屬於這一類算法。這個定理告訴咱們要想提升排序算法的效率，不能只對相鄰的元素作交換，還須要對相距較遠的元素作交換，使得一次交換消除不止一個inversion。