在路上●個人年青●悠忽兩年

在路上●個人年青●悠忽兩年

 

題記：悠忽兩年，今天又到了個人生日，離開校園幾近五年，大學畢業也快八年。偶然的機會幫着師弟分析一個問題，仔細整理後，發現用到的都是大學階段所學。驀然發覺，這些東西裝入大腦十年有餘，卻未曾倒出來過。特發此文，回憶那些再也回不去的時光，想念個人老師、同窗，緬懷青春！

 

 

 

MATLAB RADON及其相關函數分析

 

         摘要：MATLAB Phantom函數產生的Shepp-Logan模型，和人腦結構類似，是醫學影像學中用於CT圖像仿真重建領域的經典模型。本文首先詳細分析Shepp-Logan模型的結構，而後介紹對該模型數據求取Radon變換的兩種方法。Radon變換後的數據求取Iradon變換，須要對數據預處理，預處理中用到濾波和卷積函數，第二節對其詳述。模型數據的Fanbeam和IFanbeam變換，重要的是平行射線轉扇形射線、以及扇形射線轉平行射線的轉換，而轉換的過程就是插值，第三節詳述經常使用的分段三次立方插值和三次樣條插值方法。通篇都是分析，沒有創新，涉及到的M文件有phantom，radon，iradon，fft，ifft，conv，pchip，spline。其中快速傅里葉變換實現頻域濾波的物理意義，以及時域卷積的物理意義，並無解釋清楚，須要繼續探討。

    關鍵字：Phantom函數C實現；Iradon函數C實現；離散傅里葉變換；離散卷積；埃爾米特插值時一階導數求法；三次樣條插值時非扭結條件；三對角矩陣的追趕法

 

 

1 投影變換

1.1 Radon變換

      實際就是求取物體的截面（與接收器平行的那個截面），在平行射線穿透下的投影值。本節先分析圖像仿真重建用到的Shepp-Logan模型，而後介紹模型生成的數據，求取Randon變換的兩種方法。

1.1.1 MATLAB phantom 函數

   MATLAB phantom 函數用於產生頭骨幻影數據，該數據是一個N*N的矩陣，N默認是256，能夠用來驗證randon和irandon、以及其餘二維的圖像重建算法的數值準確度。phantom函數產生的Shepp-Logan模型，和人腦結構類似，是醫學影像學中最早用於CT圖像重建仿真領域的經典模型，實際處理中爲了視覺觀察上的方便，通常選取修正的Shepp-Logan模型。phantom產生的圖像，如圖1-1所示，其中(a)圖是模型，(b)圖是二維灰度圖像，(c)圖是模擬的人腦結構模型。

 

(a)

 (b)

(c)

圖1-1 (a) 頭骨幻影模型；(b) 頭骨幻影灰度圖像； (c) Shepp-Logan模擬的人腦模型

      phantom函數產生的圖像，有10個橢圓組成（圓是橢圓的一種特殊狀況），如圖1-1(a)中的a，b，c，d … i，j，每一個橢圓有6個特徵數據，默認的數據如表1-1所示^[1]。其中灰度值範圍是[0 1]，圖像顯示時對應[0 255]，表示橢圓內部都是這個值，重複的地方要疊加，密度值的疊加就是灰度值；x軸和y軸的座標範圍都是從[-1 1]；旋轉角度是度數，不是弧度。另外要注意的是，圖1-1(a)傾斜的橢圓c和d，它們兩個是由中心在座標原點的橢圓，旋轉必定角度，而後再將旋轉後的橢圓，沿着x軸和y軸平移得來的，即先旋轉後平移。

  根據表1-1，結合圖1-1(a)，則圖1-1(b)中的灰度圖像，灰度取值有6種狀況，分別是0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 1。橢圓a外面的、以及橢圓c和d內部的都是0，橢圓d與橢圓e相交的地方、橢圓d與橢圓f相交的地方都是0.1，橢圓b內部其它地方是0.2，橢圓e、f、g、h、i、j內部的都是0.3，橢圓e和f相交的地方是0.4，橢圓a和b相交的地方是1。

表1-1 修正的Shepp-Logan模型中橢圓特徵數據

 

 (a)

(b)

圖1-2 (a) 生成頭骨幻影模型的MATLAB代碼；(b) 生成頭骨幻影數據的C代碼