數據結構2：算法時間複雜度和空間複雜度的計算

算法，即解決問題的方法。同一個問題，使用不一樣的算法，雖然獲得的結果相同，可是耗費的時間和資源是不一樣的。

就好比要擰一個螺母，使用扳手仍是鉗子是有區別的，雖然使用鉗子也能擰螺母，可是沒有扳手好用。

「條條大路通羅馬」，解決問題的算法有多種，這就須要判斷哪一個算法「更好」。

算法VS程序

不少人誤覺得程序就是算法，其實否則：算法是解決某個問題的想法、思路；而程序是在心中有算法的前提下編寫出來的能夠運行的代碼。

例如，要解決依次輸出一維數組中的數據元素的值的問題，首先想到的是使用循環結構（ for 或者 while ），在有這個算法的基礎上，開始編寫程序。

因此，算法至關因而程序的雛形。當解決問題時，首先心中要有解決問題的算法，圍繞算法編寫出程序代碼。

有算法必定能解決問題嗎？

對於一個問題，想出解決的算法，不必定就能解決這個問題。

例如擰螺母，扳手相對於鉗子來講更好使（選擇算法的過程），可是在擰的過程（編寫程序的過程）中發現螺母生鏽擰不動，這時就須要另想辦法。

爲了不這種狀況的發生，要充分全面地思考問題，儘量地考慮到全部地可能狀況，慎重選擇算法（須要在實踐中不斷地積累經驗）。

「好」算法的標準

對於一個問題的算法來講，之因此稱之爲算法，首先它必須可以解決這個問題（稱爲準確性）。其次，經過這個算法編寫的程序要求在任何狀況下不能崩潰（稱爲健壯性）。

若是準確性和健壯性都知足，接下來，就要考慮最重要的一點：經過算法編寫的程序，運行的效率怎麼樣。

運行效率體如今兩方面：

• 算法的運行時間。（稱爲「時間複雜度」）
• 運行算法所需的內存空間大小。（稱爲「空間複雜度」）

好算法的標準就是：在符合算法自己的要求的基礎上，使用算法編寫的程序運行的時間短，運行過程當中佔用的內存空間少，就能夠稱這個算法是「好算法」。

調查代表，人們對於軟件或者 APP 的運行效率有極高的要求，例如對於網頁打開的忍耐極限是 6 秒甚至更短，若是你設計的網頁打開的時間超過 6 秒，多數人會在 4 秒甚至 3 秒的時候堅決果斷地關掉而去瀏覽其餘網頁。在這個大背景下，一個好的「算法」更注重的是時間複雜度，而空間複雜度只要在一個合理的範圍內就能夠。

時間複雜度的計算

計算一個算法的時間複雜度，不可能把全部的算法都編寫出實際的程序出來讓計算機跑，這樣會作不少無用功，效率過低。實際採用的方法是估算算法的時間複雜度。

在學習C語言的時候講過，程序由三種結構構成：順序結構、分支結構和循環結構。順序結構和分支結構中的每段代碼只運行一次；循環結構中的代碼的運行時間要看循環的次數。

因爲是估算算法的時間複雜度，相比而言，循環結構對算法的執行時間影響更大。因此，算法的時間複雜度，主要看算法中使用到的循環結構中代碼循環的次數（稱爲「頻度」）。次數越少，算法的時間複雜度越低。

例如：
a) ++x; s=0;
b) for (int i=1; i<=n; i++) { ++x; s+=x; }
c) for (int i=1; i<=n; i++) { for (int j=1; i<=n; j++) { ++x; s+=x; } }

上邊這個例子中，a 代碼的運行了 1 次，b 代碼的運行了 n 次，c 代碼運行了 n*n 次。

時間複雜度的表示

算法的時間複雜度的表示方式爲：

O(頻度)

這種表示方式稱爲大「O」記法。

注意，是大寫的字母O，不是數字0。

對於上邊的例子而言，a 的時間複雜度爲O(1)，b 的時間複雜度爲O(n)，c 的時間複雜度爲爲O(n2)。

若是a、b、c組成一段程序，那麼算法的時間複雜度爲O(n2+n+1)。但這麼表示是不對的，還須要對n2+n+1進行簡化。

簡化的過程總結爲3步：

• 去掉運行時間中的全部加法常數。（例如 n²+n+1，直接變爲 n²+n）
• 只保留最高項。（n²+n 變成 n²）
• 若是最高項存在可是係數不是1，去掉係數。（n² 係數爲 1）

因此，最終a、b和c合併而成的代碼的時間複雜度爲O(n2)。

經常使用的時間複雜度的排序

列舉了幾種常見的算法時間複雜度的比較（又小到大）：

O(1)常數階 < O(logn)對數階 < O(n)線性階 < O(n2)平方階 < O(n3)(立方階) < O(2n) (指數階)

拿時間換空間，用空間換時間

算法的時間複雜度和空間複雜度是能夠相互轉化的。

谷歌瀏覽器相比於其餘的瀏覽器，運行速度要快。是由於它佔用了更多的內存空間，以空間換取了時間。

算法中，例如判斷某個年份是否爲閏年時，若是想以時間換取空間，算法思路就是：當給定一個年份時，判斷該年份是否能被4或者400整除，若是能夠，就是閏年。

若是想以空間換時間的話，判斷閏年的思路就是：把全部的年份先判斷出來，存儲在數組中（年份和數組下標對應），若是是閏年，數組值是1，不然是0；當須要判斷某年是否爲閏年時，直接看對應的數組值是1仍是0，不用計算就能夠立刻知道。