從遞歸到動態規劃（一）斐波那契數列

時間 2019-12-05

原文原文鏈接

動態規劃（dynamic programming），簡稱 dp。是刷leetcode、刷ob的主要算法之一。（逃c++

動態規劃其實有挺多問題有他使用的場景的，好比是數據庫的JOIN 。若是你深刻了解過數據庫原理的話，數據庫的多表 JOIN 是真的複雜。算法

動態規劃，和遞歸是相似的，都是一種分而治之的思想。遞歸的思想，就一些狀況下實際上是存在着重複計算的。而遞歸可優化成動態規劃的緣由，或者說動態規劃的性質吧，就是遞歸中的每一步都是最優解，每一步的最優解均可以根據上一步的結果得出。而且每一步中都存在着重複計算的問題。數據庫

問題描述

這樣說有點抽象，具個例子吧，就是幾乎每本教材將遞歸的時候都會講到的斐波那契數列（兔子隊列）。本來的問題描述是這樣的，假設第1個月有1對剛誕生的兔子，第2個月進入成熟期，第3個月開始生育兔子，而1對成熟的兔子每個月會生1對兔子，兔子永不死去……那麼，由1對初生兔子開始，12個月後會有多少對兔子呢？編程

這個問題。答案確定是當前月的兔子書 = 上個月的兔子數 + 新生的兔子數。數組

而新生的兔子數又恰好又等於上上個月的兔子數。因此能夠得出結論是當前月的兔子書 = 上個月的兔子數 + 上上個月的兔子數。bash

抽象出來就是網絡

用 c++ 描述就是數據結構

long fib(int n) {
    return n < 2 ? 1 : fib(n - 1) + fib(n - 2); 
}
複製代碼

數學描述和程序實現是簡潔的，可是這程序就存在這不少的重複計算編程語言

好比：計算 F(4)函數

F(4) = F(3) + F(2);
F(3) = F(2) + F(1); //重複計算了 F(2)
F(2) = F(1) + F(0); //重複計算了 F(1)
F(1) = 1; 
//...
複製代碼

就意味着，程會序算得很慢，你能夠試試 fib(100)看看。速度感人了。這裏的時間複雜度但是O(2^n)

但這也存在這很是明顯的優化空間。

首先，F(10) 這樣的函數是不會由於外部狀態發生改變的，也就是說跟什麼時間、網絡io是一點關係都沒有的。F(10) 的答案是恆定的，F(9) 、F(8)的答案也是是恆定的。符合每一步都是最優解，固然也符合每一步均可以經過上一步的結果中得出答案。

其次，這是每一步中都會重複計算的問題。

那麼怎樣優化。

哈希？

若是沒有學過動態規劃，正常人最快想到的方法應該是哈希表吧。既然是重複計算，我將重複的結果保存一下就行了。也很容易寫出這樣的代碼

long fib(int n, map<int, long> &map) {
    if (map.count(n) > 0)
        return map[n];
    else {
        long val = n < 2 ? 1 : fib(n - 1, map) + fib(n - 2, map);
        map.insert({n, val});
        return val;
    }
}
複製代碼

雖然說這種方式是可行了。好比計算 Fib（100），比上面的一段代碼快多了。但這種方式不夠優雅。本質上也只是在遞歸的層面上作了一些優化。而哈希表這種數據結構存儲值的話，內存會有一些浪費，並且要處理key衝突的問題。

數組？

想一想計算 fib（100），也就是100次運算，用個數組存儲值就能夠了。因此能夠寫成這樣。（這其實已是dp的思路了）

long fib(int n, vector<long> &array) {
  if (array[n] != 0)
    return array[n];
  else {
    long val = n < 2 ? 1 : fib(n - 1, array) + fib(n - 2, array);
    array[n] = val;
    return val;
  }
}
複製代碼

遞歸的思惟是自頂向下，和咱們在解數學題的時候的思惟是一致的。而若是用自底向上的思路呢？就會寫成這樣。

long fib(int n) {
  if (n < 2)
    return 1;
  vector<long> array(n + 1, 0);
  array[0] = 1;
  array[1] = 1;

  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    array[i] = array[i - 1] + array[i - 2];
  }
  return array[n];
}
複製代碼

應該來說就更合符，過程式編程語言或者說是機器語言的思惟了。我會以爲這種方式比較難想一點。

更好的方式

若是用自底向上的思惟。從上面的代碼能夠看出，其實真的不須要一個數組的空間。只需知道上一步的值和上上一步的值就能夠了。

就能夠寫成這樣

long fib(int n) {
  if (n < 2)
    return 1;
  long p1 = 1;
  long p2 = 1;

  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    long val = p1 + p2;
    p1 = p2;
    p2 = val;
  }
  return p2;
}
複製代碼

再精簡一下，去掉 if 就變成這樣了

long fib(int n) {

  long p1 = 0;
  long p2 = 1;

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    long val = p1 + p2;
    p1 = p2;
    p2 = val;
  }
  return p2;
}
複製代碼