數據結構（六）查找---有序表查找（三種查找方式：折半，插值，斐波拉契查找）

前提

有序表查找要求咱們的數據是有序的，是排序好的，咱們只須要進行查找便可

咱們下面將介紹折半查找（二分查找），插值查找，斐波那契查找

一：折半查找

（一）定義

二分查找也稱折半查找（Binary Search），它是一種效率較高的查找方法。可是，折半查找要求線性表必須採用順序存儲結構，並且表中元素按關鍵字有序排列。

（二）查找過程

首先，假設表中元素是按升序排列，將表中間位置記錄的關鍵字與查找關鍵字比較，若是二者相等，則查找成功；
不然利用中間位置記錄將表分紅前、後兩個子表，若是中間位置記錄的關鍵字大於查找關鍵字，則進一步查找前一子表，不然進一步查找後一子表。
重複以上過程，直到找到知足條件的記錄，使查找成功，或直到子表不存在爲止，此時查找不成功。

（三）代碼實現

int Binary_Search(int *a, int n, int key) { int low, high, mid; low = 0; high = n - 1; while (low<=high) { mid = (low + high) / 2; if (a[mid] < key) low = mid + 1; else if (a[mid]>key) high = mid - 1; else
            return mid; } return -1; } int main() { int a[10] = { 1, 6, 12, 21, 30, 31, 32, 42, 49, 52 }; int index; index=Binary_Search(a, 10, 49); if (index != -1) printf("find key in %d\n", index); else printf("not find key\n"); system("pause"); return 0; }

（四）性能分析

其時間複雜度是O(logn),不過因爲折半查找的前提是須要有序表順序存儲，對於靜態查找表，一次排序後再也不變化，這樣的算法是比較好的。可是對於須要頻繁插入或刪除操做的數據集來講，維護有序的排序會帶來不小的工做量，不建議使用。

二：插值查找（按比例查找法）

（一）算法分析：

對於前面的折半查找，爲啥必定要折通常，而不是1/4或者其餘？ 好比：咱們查字典Apple，咱們會先從中間查找，仍是有必定目的的向前找。
或者在0-1000個數之間有200個元素從小到大均勻分佈排序，咱們如果須要查找到15，咱們會去中間查找500，仍是直接去前面開始查找。 以上都說明咱們上面的折半查找能夠再進行改進

首先咱們對摺半公式進行改寫：

 

折半查找這種查找方式，不是自適應的（也就是說是傻瓜式的），其前面的查找係數（比例參數）始終是1/2

經過類比，咱們能夠將查找的點改進爲以下：

也就是將上述的比例參數1/2改進爲自適應的，根據關鍵字在整個有序表中所處的位置，讓mid值的變化更靠近關鍵字key，這樣也就間接地減小了比較次數。

（二）基本思想：

基於二分查找算法，將查找點的選擇改進爲自適應選擇，能夠提升查找效率。固然，插值查找也屬於有序查找。

（三）代碼實現：

int Insert_Search(int *a, int n, int key) { int low, high, mid; low = 0; high = n - 1; while (low <= high) {  mid = low + (key - a[low]) / (a[high] - a[low])*(high - low); if (a[mid] < key) low = mid + 1; else if (a[mid]>key) high = mid - 1; else
            return mid; } return -1; }

實現方法和折半同樣，只是修改了mid

（四）性能分析：

而插值查找則比較靈活,並非簡單的從中間進行的,它是根據咱們須要查詢的值的漸進進行搜索的. 插值查找的不一樣點在於每一次並非從中間切分,而是根據離所求值的距離進行搜索的.

對於表長較大，而關鍵字分佈又比較均勻的查找表來講，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，數組中若是分佈很是不均勻，那麼插值查找未必是很合適的選擇。

時間複雜度：平均狀況O（loglog(n)），最壞O（log(n)）

三：斐波那契查找（僅使用加法減法實現二分查找）

除了插值查找以外，咱們再介紹一種有序查找，能夠對摺半進行優化，那就是斐波那契查找，利用了黃金分割原理來實現的

斐波那契查找與折半查找很類似，他是根據斐波那契序列的特色對有序表進行分割的。他要求開始表中記錄的個數爲某個斐波那契數小1，即n=F(k)-1;

（一）斐波那契數列

越向後，每兩個數之間相除越接近黃金比例

（二）斐波拉契查找實現

1.首先咱們要建立一個斐波拉契數列

2.獲取咱們的數組大小n（咱們不考慮0下標，由於咱們的斐波那契數列從0開始，沒法構成黃金比例），在斐波拉契數列中的位置

例如上面的查找數組大小爲n=10,F[6]<n<F[7],因此得出其位置爲k=7

3.由於咱們的k=7,F[7]=13,而a數組最大爲10，咱們須要對其按照F[7]=13補齊數組，使其長度爲F[7]-1=12,將a[11]=a[10],a[12]=a[10]

4.開始正式查找，按照上圖mid=low+F[k-1]-1;

 

（三）思考：n=F(k)-1， 表中記錄的個數爲某個斐波那契數小1。這是爲何呢？

 推文：斐波那契查找原理詳解與實現

是爲了格式上的統一，以方便遞歸或者循環程序的編寫。
表中的數據是F(k)-1個，使用mid值進行分割又用掉一個，那麼剩下F(k)-2個。
正好分給兩個子序列，每一個子序列的個數分別是F(k-1)-1與F(k-2)-1個，格式上與以前是統一的。
否則的話，每一個子序列的元素個數有多是F(k-1)，F(k-1)-1，F(k-2)，F(k-2)-1個，寫程序會很是麻煩。

（四）算法實現

void Fibonacci(int **Fb, int n) { int f1, f2,ft; int count=3; f1 = 1; f2 = 1; while (f2<n) { ft = f1 + f2; f1 = f2; f2 = ft; count++; } (*Fb) = (int *)malloc(count*sizeof(int)); (*Fb)[0] = 0; (*Fb)[1] = 1; for (f1 = 2; f1 <= count - 1; f1++) (*Fb)[f1] = (*Fb)[f1 - 1] + (*Fb)[f1 - 2]; }

建立斐波那契數列

int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key) { int low, high, mid, i, j,k; int *Fb,*temp; //根據實際狀況來初始化
    low = 1; high = n; Fibonacci(&Fb, n); k = 0; while (n > Fb[k])    //計算n位於斐波那契數列位置
        k++; temp = (int *)malloc((Fb[k] - 1 + 1)*sizeof(int));//後面加1是由於還有個下標0空間
    memcpy(temp, a, n*sizeof(n + 1)); for (i = n + 1; i <= Fb[k] - 1; i++)    //咱們要查找的是數組1到F[k]-1，而實際數組長要包括一個下標0空間
        temp[i] = a[n]; while (low<=high) {  mid = low + Fb[k - 1] - 1; if (key == temp[mid]) { //分狀況，是前半段，正常輸出，後半段判斷是否是在咱們補充的數組裏面，這時咱們返回原數組最後一個下標
            if (mid <= n) return mid; else
                return n; } else if (key>temp[mid]) { low = mid + 1; k = k - 2; } else { high = mid - 1; k = k - 1; } } return 0;    //0是未找到，0下標使無心義的
}

int main() { int a[11] = { 0,1,16,24,35,47,59,62,73,88,99}; int index; index = Fibonacci_Search(a, 10, 73); if (index != -1) printf("find key in %d\n", index); else printf("not find key\n"); system("pause"); return 0; }

 （五）性能分析

其時間複雜度也是O(logn),就平均性能來講，斐波那契查找因爲折半查找。可是如果最壞狀況，好比key=1，始終處於左側長半區查找，則效率低於折半查找。

四：總結