約瑟夫環（猴子問題）遞歸思路解法

　　　「約瑟夫環」是一個數學的應用問題：一羣猴子排成一圈，按1,2,…,n依次編號。而後從第1只開始數，數到第m只,把它踢出圈，從它後面再開始數， 再數到第m只，在把它踢出去…，如此不停的進行下去， 直到最後只剩下一隻猴子爲止，那隻猴子就叫作大王。要求編程模擬此過程，輸入max、size, 輸出最後那個大王的編號。

　　對於這個問題，能夠這麼解：每次有猴子出列後，就給全部猴子從新編號；首先第一個出列的猴子編號NO1=（size % max）==0 ? max : (size % max）(做判斷是由於size%max=0的時候，size等於max，此時編號爲0，顯然編號是不會等於0的，此時的編號應該是max)，當第i個猴子出列後，那麼從它下一個猴子開始，剩下的猴子它們的新編號應該是1,2,3.....max-1,原編號是i+1,i+2...i-1。而且，當只剩最後一隻猴子的時候，此時它的新編號絕對是1； 經過觀察可知，猴子的編號是與size有關的，如圖下：max=6，size=3，括號裏的是新編號

　　而後咱們發現了一個現象，新編號和原編號的差的絕對值是size=3。也就是說，編號的變化是與size有關的。

 

 

　　而後咱們能夠概括出，假設某個猴子的新編號是i，那麼它原來的編號就是(i+size)%max,且當i+size=max時，這時它原先的編號應該爲max；如新編號 i=1，原來的編號=（i+3）%6=4；i=3，新編號爲i=3，原來的編號=（i+3）%6=0，則編號爲6。

假如知道了還剩下某個猴子的當前編號爲currentNo=x，那麼該猴子上一輪的編號previousNo=(x+size)%previousMax（注意：這裏的previousMax等於上一輪猴子的總數），且當(x+size)=max時，previousNo=max。

　　而後咱們能夠用到遞歸的思想，咱們能夠從只剩1個猴子開始推導，由於咱們知道最後一隻猴子的新編號絕對是1，而後一直獲取它上一次的編號，直到previousMax等於原來的總數Max。

　　

代碼：

public function yuesefu($max, $size)
{
    $index = 1;//猴子的原編號（從1開始），由於這個當只剩最後一隻猴子的時候，它的編號必定爲1.
    //i—>上一輪的總猴子數
    for ($i = 2; $i <= $max; $i++) {
　　　　　//每循環一次，就獲取一次上一輪的編號，$i+1
        $index = ($index + $size) % $i;
　　　　　　//當編號和猴子總數相等，此時編號應該設置爲總數
　　　　　if($index==0){
　　　　　　　　$index=$i;

　　　　　　}    }    return $index;//該剩下的猴子一開始的編號。}