包含一

題目描述

　　NowCoder老是力爭上游，凡事都要拿第一，因此他對「1」這個數情有獨鍾。愛屋及烏，他也很喜歡包含1的數，例如十、十一、12……。你能幫他統計一下有多少個包含1的正整數嗎？

1.1 輸入描述:

　　輸入有多組數據，每組數據包含一個正整數n，(1≤n≤2147483647)。

1.2 輸出描述:

　　對應每組輸入，輸出從1到n（包含1和n）之間包含數字1的正整數的個數。

1.3 輸入例子:

1
9
10
20

 

1.4 輸出例子:

 

1
1
2
11

 

2 解題思路

 

　　假設有數字X(n)=xnxn−1…x2x1x0，xi上的權重是10i。
　　先考慮0～9n9n−1…929190，中出現1的數字個數，假設它是P(n)，它由三部分組成：
　　- 0～9n−1…929190，含有1的數字數目是P(n−1)
　　- 1n0n−1…929190～1n9n−1…929190，含有1的數字數目是10n−1
　　- 1<ji<xi，ji0i−1…020100 ji9i−1…929190中含有1的數字數目是P(n−1)，ji能夠取8個數字。
　　因此P(n−1)=P(n−1)+10n−1+8∗P(n−1)=9∗P(n−1)+10n−1，又n=0時，P(n)=1，綜上有：

 

P(n)={19∗P(n−1)+10n−1n=0n>0

 

　　再考慮X(n)，從右到左處理X(n)上的每一位，假設當前處理第i位。則要分三種狀況：
　　第一種：xi=0，則xixi−1…x2x1x0與xi−1…x2x1x0含有1的數字個數相同，則F(i)=F(i−1)。
　　第二種：xi=1，則xixi−1…x2x1x0包含1的由兩部分組成:
　　　　- 0～9i−1…929190中含有1的數字數，爲P(i−1)
　　　　- xi0i−1…020100～xixi−1…x2x1x0中含有1的數字，爲X(i−1)+1
　　則有F(i)=P(i−1)+X(i−1)+1
　　第三種：xi>1，則xixi−1…x2x1x0包含1的由四部分組成：
　　　　- 0～xi−1…x2x1x0中含有1的數字數，爲P(i−1)
　　　　- 1i0i−1…020100～1i9i−1…929190中含有1的數字數，爲10i−1
　　　　- 1<ji<xi，ji0i−1…020100～ji9i−1…929190中含有1的數字數，爲P(i−1)。j_i能夠取xi−2個
　　　　- xi0i−1…020100 xixi−1…x2x1x0中含有1的數字，爲F(i−1)
　　則有F(i−1)=P(i−1)+10i−1+(xi−2)P(i−1)+F(i−1)=(xi−1)P(i−1)+10i−1+F(i−1)
　　綜合有：
　　當n=0時，X(n)=x0

 

F(n)=1

 

　　當n>0時，X(n)=xnxn−1…x2x1x0

 

F(n)=⎧⎩⎨F(n−1)P(n−1)+X(n−1)+1(xn−1)P(n−1)+10n−1+F(n−1)xn=0xn=1xn>1

 

3 算法實現

import java.util.Scanner;

/**
 * Declaration: All Rights Reserved !!!
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
//        Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data.txt"));
        while (scanner.hasNext()) {
            int n = scanner.nextInt();
            System.out.println(countOne(n));
        }

        scanner.close();
    }

    /**
     * 【方法一】
     * 計算[1-n]中包含數字1的數字個數
     *
     * @param n 最在範圍
     * @return 包含數字1的數字個數
     */
    private static int countOne(int n) {

        int countedN = 0;
        int result = 0;

        // 從右向左分析n的每一位；for循環中：i 表示分析到了哪一位，i=1表示個位，i=10表示十位，以此類推；
        // onesPerI 表示從0到i-1含有1的數的個數，0，1，19 ...；
        // cur 是目前分析的那一位的數值；
        // 舉個例子： f(m,n) 表示從m到n，含有1的數字的個數。
        // f(1,500) = f(1, 99)+f(100, 199)+f(200, 299)+(300, 399)+f(400, 499)
        // f(1, 99) = f(200, 299) = f(300, 399) = f(400, 499)
        // f(100, 199) = 100
        for (int i = 1, onesPerI = 0, cur; n != 0; onesPerI = onesPerI * 9 + i, i *= 10, n /= 10) {

            // 當前數位的數值
            cur = n % 10;

            if (cur == 0) {
                continue;
            } else if (cur == 1) {
                // onesPerI表示[1, i-1]含有1的個數，countedN表示比
                result = onesPerI + countedN + 1;
            } else {
                result += (cur - 1) * onesPerI + i;
            }

            // 表示比第i位以及比第i位低的各位的數值，好比abcdef，如今處理萬位，那麼countN就是bcdef
            countedN += cur * i;

        }

        return result;
    }

}

 

4 測試結果