平衡二叉樹

目錄

• 1、什麼是平衡二叉樹
• 2、平衡二叉樹的高度能達到\(log_2n\)嗎？
• 3、平衡二叉樹的調整
  • 3.1 右單旋
  • 3.2 左單旋
  • 3.3 左-右雙旋
  • 3.4 右-左雙旋
  • 3.5 完善平衡二叉樹

更新、更全的《數據結構與算法》的更新網站，更有python、go、人工智能教學等着你：http://www.javashuo.com/article/p-zfinzipt-hh.html

1、什麼是平衡二叉樹

例：搜索樹結點不一樣插入次序，將致使不一樣的深度和平均查找長度ASL

上圖爲按照天然月份序列構建的搜索樹，它的ASL爲\((1+2*2+3*3+4*3+5*2+6*1)/12=3.5\)

上圖爲按照平衡二叉樹構建的搜索樹，它的ASL爲\(3.0\)

上圖爲按照月份字符串大小順序構建的搜索樹，他的ASL爲\(6.5\)

「平衡因子」（Balance Factor，簡稱BF）： \(BF(T) = h_L - h_R\)，其中\(h_L\)和\(h_R\)分別爲T的左、右子樹的高度。

平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）（AVL樹）：空樹，或者任一結點左、右子樹高度差的絕對值不超過1，即\(BF(T)|\leq{1}\)

2、平衡二叉樹的高度能達到\(log_2n\)嗎？

以下圖所示爲徹底二叉樹的高度計算：

設\(n_h\)爲高度爲h的平衡二叉樹的最少結點數。結點數最少時，咱們能夠得知左（右）子樹最多比右（左）子樹多一個結點：

上述公式相似於斐波那契序列： \(F_0=1，F_1=1，F_i=F_{i-1}+F_{i-2}\quad{f}or\quad{i}>1\)，即咱們能夠經過斐波那契的規律，來探討平衡二叉樹的高度計算。

設\(n_h\)是高度爲h的平衡二叉樹的最小結點數，有以下推導：

按照上圖的推導，咱們能夠得出：給定結點數爲n的AVL樹的最大高度爲\(O(log_2n)\)

3、平衡二叉樹的調整

3.1 右單旋

不平衡的「發現者」是Mar，「麻煩結點」Nov在發現者右子樹的右邊，於是叫作RR插入，須要RR旋轉（右單旋）

3.2 左單旋

「發現者」是Mar，「麻煩結點」Apr在發現者左子樹的左邊，於是叫LL插入，須要LL旋轉（左單旋）

3.3 左-右雙旋

「發現者」是May，「麻煩結點」Jan在左子樹的右邊，於是叫LR插入，須要LR旋轉

3.4 右-左雙旋

「發現者」是Aug，「麻煩結點」是Feb在右子樹的左邊，於是叫RL插入，須要LR旋轉

3.5 完善平衡二叉樹

接下來咱們使用上述所說的四種方法，完善咱們的平衡二叉樹。

調整後的結果爲：