JavaScript浮點運算0.2+0.1 !== 0.3

浮點運算JavaScript

本文主要討論JavaScript的浮點運算，主要包括

• JavaScript number基本類型

• 二進制表示十進制

• 浮點數的精度

number 數字類型

在JavaScript中，數字只有number這一種類型;

var intS = 2,
    floatA = 0.1;
typeof intS;   // number
typeof floatA; //number

那麼這個狀況下應該很容易理解一件事情：number應該是實現的浮點型數來標識全部的數；
而實際上也是這樣；JavaScript的number類型按照ECMA的JavaScript標準，它的Number類型就是IEEE 754的雙精度數值，至關於java的double類型。IEEE 754標準《二進制浮點數算法》（www.ieee.org）就是一個對實數進行計算機編碼的標準。

十進制轉換爲二進制

一樣，在計算機的世界裏，應該是隻有二進制數據的，不是0就是1，那麼爲了表達生活中最爲常見的十進制數據，就會有個轉換過程；這個就是十進制轉換爲二進制的方法；
參考：http://www.cnblogs.com/xkfz00...

十進制整數轉換爲二進制

這個狀況比較常見：3 =》 01；5 =》101；十進制整數轉換爲二進制整數採用"除2取餘，逆序排列"法。具體作法是：用2去除十進制整數，能夠獲得一個商和餘數；再用2去除商，又會獲得一個商和餘數，如此進行，直到商爲零時爲止，而後把先獲得的餘數做爲二進制數的低位有效位，後獲得的餘數做爲二進制數的高位有效位，依次排列起來
換算的法則是，使用一個十進制數字來示例： 173 =》 10101101：

十進制小數變爲二進制

十進制的小數轉換爲二進制，0.5 =》 0.1 ；十進制小數轉換成二進制小數採用"乘2取整，順序排列"法。具體作法是：用2乘十進制小數，能夠獲得積，將積的整數部分取出，再用2乘餘下的小數 部分，又獲得一個積，再將積的整數部分取出，如此進行，直到積中的小數部分爲零，或者達到所要求的精度爲止。而後把取出的整數部分按順序排列起來，先取的整數做爲二進制小數的高位有效位，後取的整數做爲低位有效位。
示例 0.8125 =》 0.1101

完整的十進制小數轉爲二進制

從上面的講述中能夠知道，一個十進制的小數：173.8125 轉換爲二進制是 10101101.1101；在計算機中通常都會使用科學計算來處理浮點數，也就是 173.8125 == 1.738125 * 10(2)；那麼二進制的表示也不例外，經過指數來定位小數點，用固定的精度來表示數據；

在JavaScript使用的IEEE 754的雙精度數值，一個JavaScript的number表示應該是二進制以下格式：

1[-/+] 11[位指數]        52[數值]                 64位長
+  -  + -------- + ----------------------- +

64位的具體表述在不一樣系統可能順序會有差別，可是都是包含如下三部分：

1. 符號位： 1bit，0表示正數，1表示負數

2. 指數位：11bit，也就是須要移動的位數，也就是指數的大小；因爲會存在負數和證書，因此這裏用了一個偏移的方式處理，也就是真正的指數+1023，這樣的話就表示了【-1023 ~ 1024】；而-1023也就是全0，1024就是全1；

3. 尾數：52bit，這裏須要注意的是因爲小數點前面覺得必須爲1，因此其實是52+1=53位；

參考：http://coolcao.com/2016/10/12...
http://www.cnblogs.com/kingwo...
能夠看到，因爲二進制的精確位數只有52+1位，那麼相似 1/3 這樣的無理數，那麼確定是沒法表示的，並且二進制還有不少有理數 0.1這樣的也沒法在52位精度的範圍內表示精確無誤；都會被截取53位之後的全部數字。

0.1+0.2 !== 0.3 [true]

有了以上的鋪墊，那麼咱們很容易就能夠推到出緣由了；推理步驟以下：

十進制0.1 =》 [利用上面說的方法來轉換，乘以2取整數，而後順序獲取取出得數]

=>二進制爲：0.0001100110011[0011…](循環0011,無限循環)   
 =>指數表示：尾數爲1.1001100110011001100…1100（共52位，除了小數點左邊的必須爲1的數據），指數爲-4（-4+1023 = 1019 二進制移碼爲 01111111011）,符號位爲0  
 => 計算機存儲爲：0 01111111011 10011001100110011…11001  
 => 由於尾數最多52位，因此實際存儲的值爲0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001

而十進制0.2

=> 二進制0.0011001100110011…(循環0011)  
 =>尾數爲1.1001100110011001100…1100（共52位，除了小數點左邊的1），指數爲-3（-3+1023=1020二進制移碼爲01111111100）,符號位爲0  
 => 存儲爲：0 01111111100 10011001100110011…11001  
 由於尾數最多52位，因此實際存儲的值爲0.00110011001100110011001100110011001100110011001100110011

　那麼二者相加得：
加法運算的時候須要注意如下幾點：

• 對階：須要將指數小的，變得和指數大的同樣，經過位數移位【移位注意有一個隱藏的小數點左邊的固定的1】

• 尾數運算：加法運算

• 結果規格化：規範爲 位數的左邊第一位必須爲隱藏的1，

• 舍入處理：主要是在截取的時候進行的處理，最後位捨去時爲0直接捨去，爲1則+1；【有多種舍入處理】

• 溢出判斷：

尾數加法運算開始,注意小數點左邊隱藏的默認1

[1].1001100110011001100110011001100110011001100110011001
 + [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011001

//因爲0.1是-3階，指數是-4，而0.2的指數位-3，故而取大者-3；這樣0.1須要右移一位，恰好以前小數點左側隱藏的1被移出來了；以下

.1100110011001100110011001100110011001100110011001100 【1被捨去】
+  [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011001
=   100110011001100110011001100110011001100110011001100111

此時階碼變爲了 -3，可是因爲進位了兩位，可是最高位須要保留，故而階位只是+1，也就是-2了.也就是01111111101，
進行舍入處理，因爲最高位必定是1，因此對結果最高位去除，末尾一位去除，因爲是1，故而+1處理，獲得新的52位位數爲：

新的尾數： 0011001100110011001100110011001100110011001100110100
存儲爲： 0  01111111101  0011001100110011001100110011001100110011001100110100
十進制就是：0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
截取爲：   0.30000000000000004

轉換成10進制以後獲得:0.30000000000000004

思考

看到 0.1+0.2 = 0.30000000000000004;我開始慌了，那麼0.1+0.3 === 0.4 對嗎？我也不知道，雖然最後運算的時候證實是對的，可是仍是能夠按照咱們的方法進行分析

十進制0.1  [利用上面說的方法來轉換，乘以2取整數，而後順序獲取取出得數]
 =>二進制爲：0.0001100110011[0011…](循環0011,無限循環)   
 =>指數表示：尾數爲1.1001100110011001100…1100（共52位，除了小數點左邊的必須爲1的數據），指數爲-4（-4+1023 = 1019 二進制移碼爲 01111111011）,符號位爲0  
 => 計算機存儲爲：0 01111111011 10011001100110011…11001  
 => 由於尾數最多52位，因此實際存儲的值爲0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001 
 
 而十進制0.3  
 => 二進制0.010011001100110011001100110011001...(循環1001)  
 =>尾數爲1.00110011001100110011…0011（共52位，除了小數點左邊的1），指數爲-2（-2+1023=1021二進制移碼爲01111111101）,符號位爲0  
 => 存儲爲：0 01111111101 0011001100110011…110011  
 由於尾數最多52位，因此實際存儲的值爲0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001100  

　那麼二者相加得[對階，爲大者-2，-4階數的0.1左移兩位]：      
     .0110011001100110011001100110011001100110011001100110
+ [1].0011001100110011001100110011001100110011001100110011　
=   1.1001100110011001100110011001100110011001100110011001

新的尾數： 1001100110011001100110011001100110011001100110011001
存儲爲： 0  01111111101  1001100110011001100110011001100110011001100110011001
十進制就是：0.39999999999999996447286321199499070644378662109375
截取爲：   0.4

能夠看到，JavaScript的小數保留了17位，

//一個52位小數的最小二進制的表示
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000001
0.0000000000000002220446049250313 
//一個53【加頭部默認1位】位小數的最小二進制數
0.00000000000000000000000000000000000000000000000000001
0.00000000000000011102230246251565
Math.pow(2, 53)
9007199254740992 //當大於這個數的時候就會丟失精度
Math.pow(2, -53)
1.1102230246251565e-16  //當小於這個數也會丟失精度

JavaScript採用了17位來默認截取數據，根據四捨五入方法或者是說二進制中的0舎1進位的方式截取。
因此這樣的加法有的時候會出現精度問題，有的又不會。看看具體的狀況,在chrome的console裏面運行的結果以下：

0.4-0.1
0.30000000000000004

0.3+0.1
0.4

0.1+0.2
0.30000000000000004