《劍指offer(第二版)》面試題60——n個骰子的點數

一.題目描述

　　把n個骰子仍在地上，全部的骰子朝上的一面的點數之和爲s，輸入n，打印出s全部可能的值出現的機率。

二.題解

　　《劍指offer》上給出的兩種方法，尤爲是代碼，晦澀難懂且沒有註釋。而n個骰子的問題實質就是一個動態規劃問題，因此文本主要從動態規劃的角度來求解這個問題。首先該問題具有DP的兩個特徵：最優子結構性質和子問題的重疊性。具體的表如今：(1)n個骰子的點數依賴於n-1個骰子的點數，至關於在n-1個骰子點數的基礎上再進行投擲。(2)求父問題的同時，須要屢次利用子問題。由此定義狀態轉移方程爲$f(n,k)$表示$n$個骰子點數和爲$k$時出現的次數，因而可得:

$$ f(n,k) = f(n- 1, k- 1) + f(n- 1, k- 2) + f(n- 1, k- 3) + f(n- 1, k- 4) + f(n- 1, k- 5) + f(n- 1, k- 6) $$

其中 $n > 0$且$k <= 6n$。其中$f(n-1,k-i)$表示的是第n次擲骰子時，骰子的點數爲$i$對應的狀況，因此從$k-1$到$k-6$分別對應第n次擲骰子時骰子正面爲$1$到$6$的狀況。而初始狀態能夠定義爲：

$$ f(1,1) = f(1,2) = f(1,3) = f(1,4) = f(1,5) = f(1,6) = 1 $$

因此根據這兩個方程，給出的實現代碼以下：

 

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#define MAX_NUM 100
using namespace std;

void FindSum(int n)
{
    if(n <= 0)
        return;
    int sum = 0;
    int arr[n + 1][6 * n + 1];
    memset(arr,0,sizeof(arr));
    for(int i = 1; i <= 6; i++)//初始狀態
        arr[1][i] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)//狀態轉移方程
    {
        for(int j = i; j <= 6*i; j++)//注意j的範圍受i影響
        {
            arr[i][j] += (arr[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j - 2] + arr[i - 1][j - 3] + arr[i - 1][j - 4] + arr[i - 1][j - 5]
                          +arr[i - 1][j - 6]);
        }
    }
    //輸出結果
    for(int i = n; i <= 6 * n; i++)
    {
        //cout<<"骰子的和爲 "<<i<<" 時，對應的次數爲："<<arr[n][i]<<endl;
        sum += arr[n][i];
    }
    cout<<n<<"個骰子總共的次數爲 "<<sum<<endl;
    for(int i = n; i <= 6 * n; i++)
    {
        cout<<"骰子的和爲 "<<i<<" 時，對應的頻率爲："<<(arr[n][i] * 1.0 / sum)<<endl;
    }



}
int main()
{
    int n;
    cout<<"請輸入骰子的個數:"<<endl;
    cin>>n;
    FindSum(n);
}

 此處的代碼只是樸素dp的實現，用動態規劃來解釋，感受比書上好理解多了....

參考：https://blog.csdn.net/k346k346/article/details/50988681