4、分塊消元與Schur補
- 消除部分變量
- 逆矩陣引理
消除部分變量
考慮Ax=b,將變量分爲涼快或兩個子向量spa
對線性方程組Ax=b作一樣的劃分,.net
其中3d
假設可逆,則按如下方式消去,,再將其代入第二個方程blog
獲得ci
其中是矩陣A的第一個分塊矩陣的Schur補。當且僅當A非奇異時,Schur補S是非奇異矩陣。get
經過分塊消元求解線性方程組
給定非奇異線性方程組Ax=b,其中非奇異:同步
- 計算和
- 計算和
- 求解肯定
- 求解肯定
分塊消元法的複雜度分析
f表示對進行因式分解的計算成本,s表示完成相應的求解步驟所須要的計算成本。博客
- 計算和,對進行因式分解,再加上求解兩個乘法須要的次浮點運算,共須要
- 計算和,計算須要,再加上的矩陣減法,成本爲,計算的成本不如計算S的成本階次高,所以只需考慮計算S的成本。
- 求解肯定,對該方程求解須要分解S,再求解,成本爲。
- 求解肯定,計算須要次浮點運算,求解方程組能夠利用1中的的分解結果,於是秩序執行求解步驟,成本爲s。
故總成本:class
無結構矩陣消元:此時的分解爲LU分解,因而,,代入上式獲得變量
對角矩陣消元:f=0,,代入獲得
逆矩陣引理
考慮線性方程組,引入新的變量,寫成:
應用塊消元,從第一個方程中獲得,再將x代入第二個方程獲得
由於b是任意向量,有如下結論
這就是逆矩陣定理。
求解(A+BC)x=b的計算成本:
若是A是對角元素不等於零的對角矩陣,B,C 是稠密矩陣,
(1)計算D=A+BC須要次浮點運算,再對D進行LU分解,須要次浮點運算,總成本
(2)用逆矩陣引理求解,即先計算,計算須要n次浮點運算,計算須要次浮點運算,再求y,須要次浮點運算,再計算,再求解x須要2pn次浮點運算。
來源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/87917717
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