圖的生成樹（森林）（克魯斯卡爾Kruskal算法和普里姆Prim算法）、以及並查集的使用

圖的連通性問題：無向圖的連通份量和生成樹，全部頂點均由邊鏈接在一塊兒，但不存在迴路的圖。

設圖 G=(V, E) 是個連通圖，當從圖任一頂點出發遍歷圖G 時，將邊集 E(G) 分紅兩個集合 T(G) 和 B(G)。其中 T(G)是遍歷圖時所通過的邊的集合，B(G) 是遍歷圖時未通過的邊的集合。顯然，G1(V, T) 是圖 G 的極小連通子圖，即子圖G1 是連通圖 G 的生成樹。

深度優先生成森林

  右邊的是深度優先生成森林：

連通圖的生成樹不必定是惟一的， 不一樣的遍歷圖的方法獲得不一樣的生成樹;從不一樣的頂點出發可獲得不一樣的生成樹。

連通圖自己就是連通份量，其中頂點集+遍歷通過的邊=生成樹。

非連通圖的生成森林不必定是惟一的。

非連通圖各個連通份量的頂點集+遍歷時通過的邊=若干顆生成樹（生成森林）

最小生成樹 
給定一個無向網絡，在該網的全部生成樹中，使得各邊權數之和最小的那棵生成樹稱爲該網的最小生成樹。

問題的提出：要在 n 個城市間創建交通網，要考慮的問題如何在保證 n 點連通的前題下最節省經費? 

如何求連通圖的最小生成樹?

構造最小生成樹的算法不少，其中多數算法都利用了一種稱之爲 MST 的性質。

MST 性質：設 N = (V, E)  是一個連通網，U 是頂點集 V 的一個非空子集。若邊 (u, v) 是一條具備最小權值的邊，其中u∈U，v∈V-U，則必存在一棵包含邊 (u, v) 的最小生成樹。

方法一：普里姆 (Prim) 算法。

算法思想：

一、設 N=(V, E) 是連通網，TE 是N 上最小生成樹中邊的集合。初始令 U={u0}, (u0屬於V ), TE={ }。

二、在全部 u屬於U, v屬於V-U 的邊 (u, v)屬於E 中，

找一條代價最小的邊 (u0, v0)。

將 (u0, v0) 併入集合 TE，同時 v0 併入 U。

 

三、

重複上述操做直至 U=V 爲止，則 T=(V, TE) 爲 N 的最

小生成樹。

 

總得來講，普里姆算法就是以樹爲單位，找最小的權邊，特色是針對無向圖！只和頂點有關，和邊無關，適用於稠密圖。算法時間複雜度爲 O（n^2）

如圖：普里姆算法求最小生成樹

初始令 U={u0}, (u0屬於V ), TE={ }。

   

在全部 u屬於U, v屬於V-U 的邊 (u, v)屬於E 中，找一條代價最小的邊 (u0, v0)。將 (u0, v0) 併入集合 TE，同時 v0 併入 U。

   

重複上述操做直至 U=V 爲止，則 T=(V, TE) 爲 N 的最 小生成樹。

    

繼續

    

最後，遍歷完

    

Prim算法的實現  

頂點集合如何表示？最小邊如何選擇？一個頂點加入U集合如何表示？以下面的例子：

當U集合中加入一個新頂點時，V-U集合中的頂點到U的最小代價邊可能會更新，k 表明最終選擇的頂點，k=3，表明選擇是v3這個頂點，由於1-3代價是最小的=1

選取了 v3，以後，繼續以最新的樹爲單位，來找最小的權值邊，經過看和哪一個頂點鏈接。

k=6，表明選擇是v6這個頂點，由於3-6代價是最小的=4，在全部的和最新的樹鄰接的頂點中，權值最小的邊。

選取 v6以後

繼續以最新的樹爲單位，找臨近的頂點，看哪條邊的權值最小，找到6-4這條邊，權值=2

新的樹如圖

繼續以最新的樹爲單位，找臨近的頂點，看哪條邊的權值最小，找到3-2這條邊，權值=5

新的樹如圖

繼續以最新的樹爲單位，找臨近的頂點，看哪條邊的權值最小，找到2-5這條邊，權值=3

直到全部頂點所有併入生成樹以後，程序結束

 

方法二：克魯斯卡爾 (Kruskal) 算法。

使用了並查集，直接從邊中找到不成環的最小的權邊（最簡單的求最小生成樹的算法），特色：只針對無向圖，包好普里姆算法，都是隻針對無向圖。

算法思想：

一、設連通網  N = (V, E )，令最小生成樹初始狀態爲只有 n 個頂點而無邊的非連通圖 T=(V, { })，每一個頂點自成一個連通份量。

二、 在 E 中選取代價最小的邊，若該邊依附 的頂點落在 T 中不一樣的連通份量上（即： 不能造成環），則將此邊加入到 T 中；否 則，捨去此邊，選取下一條代價最小的邊。

三、依此類推，直至 T 中全部頂點都在同一連通份量上爲止。

最小生成樹可能不唯一（包括普里姆算法都是同樣的道理）

把全部的邊按照權值升序排列，從最小邊開始（不能造成迴路），選取，組成最小生成樹。直到全部的邊併入則結束（不是頂點！） 克魯斯卡爾算法主要在排序邊的權值序列的時候最費時間，他的算法時間複雜度和排序算法有關，而排序算法的時間複雜度和圖的邊 e 有關係，和頂點 v 沒有關係。故適用於稀疏圖。（而普里姆算法適合稠密圖）

下面是圖解步驟：

按照升序，找出權值的排序序列：1 2 3 4 5 5 5 6 6 6

注意選取權值最小的邊的時候，不要造成迴路

按照權值的升序排列的順序查找選取合適的邊

繼續，按照權值的升序排列的順序查找選取合適的邊

注意選取5的時候，避免環的生成，便可

直到全部的邊都併入便可。

那麼在克魯斯卡爾算法裏，經過找合適的邊，該如何避免造成迴路呢？換句話說，如何判斷是否造成了迴路？

使用並查集能夠判斷是否造成了迴路，kruskal算法用到了一種貪心策略，首先要把邊集數組以邊的權值從小到大排序，而後一條邊一條邊的查找，若是邊的兩個端點不在一個集合內，則將此邊添加到正在生長的樹林中，併合並兩個端點所在的集合，直到最小生成樹已生成完畢。

並查集：

是一種樹型的數據結構，用於處理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合併及查詢問題。經常在使用中以森林來表示。集就是讓每一個元素構成一個單元素的集合，也就是按必定順序將屬於同一組的元素所在的集合合併。

並查集是一種很是簡單的數據結構，它主要涉及兩個基本操做，分別爲：

A． 合併兩個不相交集合

B． 判斷兩個元素是否屬於同一個集合

1）合併兩個不相交集合（Union(x,y)）

合併操做很簡單：先設置一個數組Father[x]，在克魯斯卡爾算法裏，須要使用雙親存儲結構，表示x的「父親」的編號。那麼，合併兩個不相交集合的方法就是，找到其中一個集合最父親的父親（也就是最久遠的祖先），將另一個集合的最久遠的祖先的父親指向它。

通俗的說，就是把其中一個樹的根，做爲另外一個樹的根結點的一個孩子結點便可。

上圖爲兩個不相交集合，合併後能夠看出：Father(b)=Father(g)=f 結點

2）判斷兩個元素是否屬於同一集合（Find_Set(x)），本操做可轉換爲尋找兩個元素的最久遠祖先是否相同。能夠採用遞歸實現。

並查集的優化問題

尋找祖先時，咱們通常採用遞歸查找，可是當元素不少亦或是整棵樹變爲一條鏈時，每次Find_Set(x)都是O(n)的複雜度。爲了不這種狀況，咱們需對路徑進行壓縮，即當咱們通過」遞推」找到祖先節點後，」回溯」的時候順便將它的子孫節點都直接指向祖先，這樣之後再次Find_Set(x)時複雜度就變成O(1)了，以下圖所示。可見，路徑壓縮方便了之後的查找。

回到克魯斯卡爾算法，使用並查集來實現判斷迴路的生成否

好比從 v1開始（一共是 v一、v二、v三、v四、v五、v6），則開始把 v1-v6做爲各個單根樹，以森林來表示，讓每一個元素構成一個個的單元素的集合，須要使用數組表示，存儲方式就是雙親存儲結構（方便找到共同的父親）。

每次使用並查集，將後入的邊上的另外一個結點做爲孩子結點，而沒有加入的結點仍是去作爲單根的樹：

如圖所示，上圖，該選取權值=5的邊了，此時有兩個樹

   和   

若是選取3-4或者1-4這兩條邊的任意一個，單根樹是不會產生根相同的情形的，而加入的（做爲孩子的根），必定會找到共同祖先的，這樣就能夠發現迴路的存在！ 而選取2-3這條邊的話，在並查集中，就不會查出共同的祖先，也就是沒有環的造成。

通俗的說，就是經過兩個元素所在的結點推出跟結點，若根相同，則爲同一個集合，不然不是同一個集合（也就是不造成迴路）